A priori-todennäköisyydellä on tärkeä sovellus tilastomekaniikassa. Klassinen versio määritellään alkeistapahtumien lukumäärän (esim. kuinka monta kertaa noppaa heitetään) suhteena tapahtumien kokonaislukumäärään – ja näitä tarkastellaan puhtaasti deduktiivisesti eli ilman minkäänlaisia kokeita. Nopan tapauksessa, jos katsomme sitä pöydällä heittämättä sitä, jokaisella alkeistapahtumalla on deduktiivisesti päättelemällä sama todennäköisyys – näin ollen (täydellisen) nopan kuvitteellisen heiton tai pelkän kasvojen lukumäärän laskemisen jokaisen lopputuloksen todennäköisyys on 1/6. Nopan jokaisella kuviolla on sama todennäköisyys – todennäköisyys on kullekin alkeistapahtumalle määritelty mitta. Tulos on erilainen, jos heitetään noppaa kaksikymmentä kertaa ja kysytään, kuinka monta kertaa (20:stä) numero 6 ilmestyy ylemmälle puolelle. Tällöin aika astuu kuvaan, ja todennäköisyys on erilainen riippuen ajasta tai siitä, kuinka monta kertaa noppaa heitetään. Toisaalta a priori -todennäköisyys on riippumaton ajasta – voit katsoa pöydällä olevaa noppaa niin kauan kuin haluat koskematta siihen ja päätellä, että todennäköisyys sille, että numero 6 ilmestyy yläpinnalle on 1/6.
Tilastomekaniikassa esimerkiksi äärelliseen tilavuuteen V sisältyvän kaasun {\displaystyle V}
sekä avaruuskoordinaatit q i {\displaystyle q_{i}}
ja momenttikoordinaatit p i {\displaystyle p_{i}}
yksittäisten kaasuelementtien (atomien tai molekyylien) p_{i}
ovat äärellisiä näiden koordinaattien kattamassa faasiavaruudessa. Vastaavasti kuin nopan tapauksessa, a priori-todennäköisyys on tässä (jatkumon tapauksessa) verrannollinen faasiavaruuden tilavuuselementtiin Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
jaettuna h:lla {\displaystyle h}
, ja on siinä olevien pysyvien aaltojen (eli tilojen) lukumäärä, jossa Δ q {\displaystyle \Delta q}
on muuttujan q alue {\displaystyle q}
ja Δ p {\displaystyle \Delta p}
on muuttujan p {\displaystyle p} alue.
(tässä yksinkertaisuuden vuoksi tarkasteltu yhdessä ulottuvuudessa). Yhdessä ulottuvuudessa (pituus L {\displaystyle L}
) tämä luku tai tilastollinen paino tai a priori-painotus on L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. Tavanomaisessa 3 ulottuvuudessa (tilavuus V {\displaystyle V}
) vastaava luku voidaan laskea olevan V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}}
. Jotta voimme ymmärtää tämän suureen antavan tilojen lukumäärän kvanttimekaniikassa (eli aaltomekaniikassa), muistakaamme, että kvanttimekaniikassa jokaiseen hiukkaseen liittyy aineaalto, joka on Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Vapaiden hiukkasten tapauksessa (joiden energia ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}}
), kuten kaasun tapauksessa laatikossa, jonka tilavuus on V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}).
tällainen aineaalto on eksplisiittisesti ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
jossa l , m , n {\displaystyle l,m,n}
ovat kokonaislukuja. Erilaisten ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} {\displaystyle (l,m,n)}
arvoja ja siten tiloja alueella välillä p , p + d p , p 2 = p 2, {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
havaitaan tällöin edellä olevan lausekkeen V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}}
tarkastelemalla näiden pisteiden kattamaa aluetta. Lisäksi kun otetaan huomioon epävarmuusrelaatio, joka yhdessä avaruusulottuvuudessa on Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
nämä tilat ovat erottamiskelvottomia (eli näillä tiloilla ei ole leimoja). Tärkeä seuraus on tulos, joka tunnetaan nimellä Liouvillen lause, eli tämän vaiheavaruuden tilavuuselementin ja siten a priori-todennäköisyyden ajallinen riippumattomuus. Tämän suureen aikariippuvuus merkitsisi tunnettua tietoa systeemin dynamiikasta, eikä se näin ollen olisi a priori -todennäköisyys. Näin ollen alue
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const..,}
jos differentioidaan ajan t suhteen {\displaystyle t}
saadaan nollaksi (Hamiltonin yhtälöiden avulla): Tilavuus hetkellä t {\displaystyle t}
on sama kuin hetkellä nolla. Tätä kuvataan myös informaation säilymisenä.
Kokonaisessa kvanttiteoriassa on analoginen säilymislaki. Tällöin vaiheavaruuden alue korvataan tilaavaruuden aliavaruudella, joka ilmaistaan projektio-operaattorilla P {\displaystyle P}
, ja vaiheavaruuden todennäköisyyden sijasta on todennäköisyystiheys Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}}},\;\;\;N=TrP=const.,}
jossa taas on esitetty, missä on esitetty, että N {{{\displaystyle N}
on aliavaruuden ulottuvuus. Säilymislaki ilmaistaan tässä tapauksessa S-matriisin yksikäsitteisyydellä. Kummassakin tapauksessa tarkasteluissa oletetaan suljettu eristetty järjestelmä. Tämä suljettu eristetty systeemi on systeemi, jossa (1) on kiinteä energia E {\displaystyle E}
ja (2) kiinteä hiukkasten lukumäärä N {\displaystyle N}
c) tasapainotilassa. Jos tarkastellaan valtavaa määrää tämän systeemin monisteita, saadaan niin sanottu ”mikrokanoninen kokonaisuus´´. Tätä järjestelmää varten kvanttitilastotiikassa postuloidaan ”peruspostulaatti eristetyn järjestelmän yhtä suuresta a priori -todennäköisyydestä´´. Sen mukaan tasapainossa oleva eristetty systeemi on jokaisessa saavutettavissa olevassa tilassaan samalla todennäköisyydellä. Tämän perustavanlaatuisen postulaatin avulla voidaan siis rinnastaa a priori -todennäköisyys systeemin rappeutuneisuuteen eli saman energian omaavien eri tilojen lukumäärään.