Darby syntyi Shropshiren Coalbrookdalessa Abrahamin ja Maryn (o.s. Sergeant) lapsena.
Hän seurasi isänsä jalanjälkiä Darbyn valimoyrityksessä Coalbrookdalessa, jossa valmistettiin valurautaisia keittoastioita, vedenkeittimiä ja muita tuotteita. Coalbrookdale-yhtiöllä oli myös tärkeä rooli siinä, että rautaa käytettiin korvaamaan kalliimpaa messinkiä Thomas Newcomenin höyrykoneiden sylintereissä.
Hän ja hänen yhteistyökumppaninsa olivat vastuussa erittäin tärkeästä innovaatiosta, kun he ottivat käyttöön koksisikojen raudan käytön raaka-aineena takomoissa. Tämä muodosti merkittävän osan heidän 1750-luvun lopulla rakentamiensa Horsehayn ja Ketleyn uunien tuotannosta. Hänen isänsä onnistunut koksiraudan käyttö valimoiden raaka-aineena ja hänen oma menestyksensä sen käyttämisessä takomoiden raaka-aineena olivat kaksi askelta kohti rautateollisuuden teollista vallankumousta, mutta lopullinen läpimurto, joka mahdollisti raudan tuotannon suuren laajentumisen, joka muodostaa rautateollisuuden teollisen vallankumouksen, tapahtui myöhemmin.
Hän kuoli 51-vuotiaana. Hän oli mennyt kahdesti naimisiin: ensin Margaret Smithin (kuoli 1740), jonka kanssa hänellä oli kolme lasta, mukaan lukien Hannah, joka meni naimisiin Richard Reynoldsin kanssa, ja toiseksi kveekaripappi Abiah Mauden, jonka kanssa hänellä oli vielä kolmetoista lasta, joskin vain neljä, mukaan lukien Abraham Darby III, jäi eloon.