Reaaliarvoisten funktioiden Fourier-muunnokset ovat symmetrisiä 0 Hz:n akselin ympäri. Näytteenoton jälkeen käytettävissä on enää vain Fourier-muunnoksen jaksollinen summaus (ns. diskreettiaikainen Fourier-muunnos). Alkuperäisen muunnoksen yksittäisiä taajuussiirtyneitä kopioita kutsutaan aliaseiksi. Vierekkäisten aliasien välinen taajuusero on näytteenottotaajuus, jota merkitään fs:llä. Kun aliakset ovat toisiaan poissulkevia (spektrisesti), näytteistä voidaan palauttaa alkuperäinen muunnos ja alkuperäinen jatkuva funktio tai (haluttaessa) sen taajuussiirtoinen versio. Kuvan 1 ensimmäisessä ja kolmannessa kuvaajassa esitetään peruskaistaspektri ennen ja jälkeen näytteenoton nopeudella, joka erottaa aliakset täysin toisistaan.
Kuvan 1 toisessa kuvaajassa esitetään kaistan (A, A+B) (tummennettu sinisellä) miehittävän kaistanpäästöfunktion (tummennettu sinisellä) ja sen peilikuvan (tummennettu beigellä) taajuusprofiili. Tuhoamattoman näytteenottotaajuuden edellytyksenä on, että molempien kaistojen aliakset eivät mene päällekkäin, kun niitä siirretään kaikilla fs:n kokonaiskertoimilla. Neljännessä kuvaajassa esitetään spektrinen tulos, joka saadaan, kun näytteenotto tapahtuu samalla nopeudella kuin peruskaistafunktio. Näytteenottotaajuus valittiin etsimällä pienin taajuus, joka on A:n kokonaislukukerroin ja joka täyttää myös peruskaistan Nyquist-kriteerin: fs > 2B. Näin ollen kaistanpäästöfunktio on käytännössä muunnettu peruskaistaksi. Kaikki muut päällekkäisyyttä välttävät nopeudet saadaan näillä yleisemmillä kriteereillä, joissa A ja A+B korvataan vastaavasti fL:llä ja fH:lla:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}})
, mille tahansa kokonaisluvulle n tyydyttävä: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}\right\rfloor }
Korkein n, jolle ehto täyttyy, johtaa pienimpiin mahdollisiin näytteenottotaajuuksiin.
Tällaisia tärkeitä signaaleja ovat esimerkiksi radion keskitaajuussignaali (IF), radiotaajuussignaali (RF) ja suodatinpankin yksittäiset kanavat.
Jos n > 1, ehdot johtavat siihen, mitä joskus kutsutaan alinäytteenotoksi, kaistanpäästönäytteenotoksi tai näytteenottotaajuuden käyttämiseksi, joka on pienempi kuin Nyquistin taajuus (2fH). Kun kyseessä on tietty näytteenottotaajuus, seuraavassa esitetään yksinkertaisemmat kaavat signaalin spektrikaistan rajoituksille.
Esimerkki: FM-radio havainnollistaa alemman näytteenoton ideaa. Yhdysvalloissa FM-radio toimii taajuuskaistalla fL = 88 MHz – fH = 108 MHz. Kaistanleveys on W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }
Näytteenotto-olosuhteet täyttyvät 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Näin ollen n voi olla 1, 2, 3, 4 tai 5. Arvo n = 5 antaa pienimmän näytteenottotaajuusvälin 43.2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz}} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }
ja tämä on skenaario alimittauksesta. Tällöin signaalin spektri sopii 2-2,5-kertaisen näytteenottotaajuuden välille (suurempi kuin 86,4-88 MHz mutta pienempi kuin 108-110 MHz). Pienempi n:n arvo johtaa myös käyttökelpoiseen näytteenottotaajuuteen. Esimerkiksi käytettäessä n = 4 FM-kaistan spektri sopii helposti 1,5-2,0 kertaa näytteenottotaajuuden välille, jolloin näytteenottotaajuus on lähellä 56 MHz:ä (Nyquistin taajuuden kerrannaiset ovat 28, 56, 84, 112 jne.). Katso oikealla olevat kuvat. Kun reaalimaailman signaalia alinäytetään, näytteenottopiirin on oltava riittävän nopea, jotta se voi tallentaa korkeimman kiinnostavan signaalitaajuuden. Teoriassa jokainen näyte pitäisi ottaa äärettömän lyhyen ajanjakson aikana, mutta tämä ei ole käytännössä mahdollista. Sen sijaan signaalin näytteenotto olisi tehtävä riittävän lyhyellä aikavälillä, jotta se voi edustaa signaalin hetkellistä arvoa korkeimmalla taajuudella. Tämä tarkoittaa, että edellä esitetyssä FM-radioesimerkissä näytteenottopiirin on kyettävä ottamaan talteen signaali, jonka taajuus on 108 MHz, ei 43,2 MHz. Näytteenottotaajuus voi siis olla vain hieman suurempi kuin 43,2 MHz, mutta järjestelmän tulokaistanleveyden on oltava vähintään 108 MHz. Samoin näytteenoton ajoituksen tarkkuuden eli näytteenottimen, usein analogi-digitaalimuunnin, aukon epävarmuuden on oltava sopiva 108 MHz:n näytteenottotaajuuksille, ei alemmalle näytteenottotaajuudelle. Jos näytteenottoteorema tulkitaan siten, että se edellyttää kaksinkertaista korkeinta taajuutta, tarvittavan näytteenottotaajuuden oletetaan olevan suurempi kuin Nyquistin taajuus 216 MHz. Vaikka tämä täyttääkin näytteenottotaajuutta koskevan viimeisen ehdon, se on törkeästi ylinäytteistetty. Huomaa, että jos kaista näytteistetään n > 1:llä, tarvitaan alipäästösuodattimen sijasta kaistanpäästösuodatin tasoituksenestosuodattimeksi.
Kuten olemme nähneet, normaali peruskaistan ehto palautuvalle näytteenotolle on, että X(f) = 0 intervallin ulkopuolella: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}
ja rekonstruktiivinen interpolointifunktio eli alipäästösuodattimen impulssivaste on sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
Alinäytteenoton alittamiseksi kaistanpäästöehto on, että X(f) = 0 avoimien positiivisten ja negatiivisten taajuuskaistojen liitoksen ulkopuolella
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}
jollekin positiiviselle kokonaisluvulle n {\displaystyle n\,}
. joka sisältää normaalin peruskaistaehdon tapauksen n = 1 tapaan (paitsi että siellä, missä välit yhtyvät 0-taajuudella, ne voivat olla suljettuja).
Vastaava interpolointifunktio on kaistanpäästösuodatin, jonka antaa tämä alipäästöimpulssivasteiden erotus:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}
.
Toisaalta rekonstruktio ei yleensä ole tavoitteena näytteistetyillä IF- tai RF-signaaleilla. Pikemminkin näytesekvenssiä voidaan käsitellä tavallisina näytteinä signaalista, jonka taajuus on siirretty lähelle peruskaistaa, ja digitaalinen demodulaatio voi edetä tältä pohjalta tunnistaen spektrin peilauksen, kun n on parillinen.
Lisäyksiä alinäytteenotosta on mahdollista yleistää sellaisten signaalien tapauksessa, joissa on useita kaistoja, sekä signaalien tapauksessa, joissa on moniulotteisia alueita (avaruus- tai aika-avaruusalueet), ja niitä on työstänyt yksityiskohtaisesti Igor Kluvánek.