Darby se narodil v Coalbrookdale v hrabství Shropshire Abrahamovi a Mary (rozené Sergeantové).
Pokračoval ve stopách svého otce ve slévárně Darby v Coalbrookdale, která vyráběla litinové hrnce, konvice a další zboží. Společnost Coalbrookdale Company také sehrála důležitou roli při používání železa jako náhrady dražší mosazi pro válce parních strojů Thomase Newcomena.
Společně se svými společníky se zasloužil o velmi důležitou inovaci při zavádění používání koksového surového železa jako vstupní suroviny pro kování jemných výrobků. To tvořilo významnou část produkce pecí Horsehay a Ketley, které postavili koncem 50. let 17. století. Úspěšné využití koksového surového železa jako slévárenské suroviny jeho otcem a jeho vlastní úspěch při jeho využití jako kovářské suroviny byly dva z kroků k průmyslové revoluci pro železářský průmysl, ale konečný průlom, který umožnil velké rozšíření výroby železa, jež pro něj představuje průmyslovou revoluci, přišel později.
Zemřel ve věku 51 let. Oženil se dvakrát: poprvé s Margaret Smithovou (zemřela roku 1740), s níž měl tři děti včetně Hannah, která se provdala za Richarda Reynoldse, a podruhé s kvakerskou duchovní Abiah Maudeovou, s níž měl dalších třináct dětí, i když přežily jen čtyři včetně Abrahama Darbyho III.