Apriorní pravděpodobnost má důležité uplatnění ve statistické mechanice. V klasické verzi je definována jako poměr počtu elementárních událostí (např. počtu hodů kostkou) k celkovému počtu událostí – a ty se uvažují čistě deduktivně, tj. bez experimentování. V případě kostky, pokud se na ni díváme na stole, aniž bychom jí házeli, se deduktivně uvažuje, že každá elementární událost má stejnou pravděpodobnost – tedy pravděpodobnost každého výsledku pomyslného hodu (dokonalou) kostkou nebo prostého spočítání počtu stěn je 1/6. Každá strana kostky se objeví se stejnou pravděpodobností – pravděpodobnost je míra definovaná pro každou elementární událost. Jiný výsledek dostaneme, hodíme-li kostkou dvacetkrát a zeptáme se, kolikrát (z 20) se na horní straně objeví číslo 6. To znamená, že se na horní straně objeví číslo 6. V tomto případě vstupuje do hry čas a máme jiný typ pravděpodobnosti v závislosti na čase nebo počtu hodů kostkou. Na druhou stranu apriorní pravděpodobnost je na čase nezávislá – na kostku na stole se můžete dívat libovolně dlouho, aniž byste se jí dotkli, a odvodíte, že pravděpodobnost, že se na horní straně objeví číslo 6, je 1/6. To znamená, že pravděpodobnost, že se na horní straně objeví číslo 6, je 1/6.
Ve statistické mechanice, např. u plynu obsaženého v konečném objemu V {\displaystyle V}.
, tak prostorové souřadnice q i {\displaystyle q_{i}}.
a hybnostní souřadnice p i {\displaystyle p_{i}}.
jednotlivých prvků plynu (atomů nebo molekul) jsou ve fázovém prostoru pokrytém těmito souřadnicemi konečné. Analogicky k případu kostky je zde apriorní pravděpodobnost (v případě kontinua) úměrná prvku objemu fázového prostoru Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}.
děleno h {\displaystyle h}
, a je počet stojatých vln (tj. stavů) v něm, kde Δ q {\displaystyle \Delta q}
je rozsah proměnné q {\displaystyle q}.
a Δ p {\displaystyle \Delta p}
je rozsah proměnné p {\displaystyle p}
(zde pro zjednodušení uvažováno v jedné dimenzi). V 1 rozměru (délka L {\displaystyle L}
) je toto číslo nebo statistická váha či apriorní váha L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}.
. V obvyklých 3 rozměrech (objem V {\displaystyle V}
) lze odpovídající číslo vypočítat jako V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}.
. Abychom tuto veličinu pochopili jako veličinu udávající počet stavů v kvantové (tj. vlnové) mechanice, připomeňme si, že v kvantové mechanice je každá částice spojena s vlnou hmoty, která je řešením Schrödingerovy rovnice. V případě volných částic (s energií ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}) se jedná o Schrödingerovu rovnici.
), jako jsou částice plynu v krabici o objemu V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}.
taková vlna hmoty je explicitně ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}.
,
kde l , m , n {\displaystyle l,m,n}
jsou celá čísla. Počet různých ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
hodnot a tedy stavů v oblasti mezi p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
se pak nachází výše uvedený výraz V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
uvažováním plochy pokryté těmito body. Navíc s ohledem na vztah neurčitosti, který je v 1 prostorové dimenzi Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}.
,
tyto stavy jsou nerozlišitelné (tj. tyto stavy nenesou značky). Důležitým důsledkem je výsledek známý jako Liouvillova věta, tj. časová nezávislost tohoto prvku objemu fázového prostoru, a tedy i apriorní pravděpodobnosti. Časová závislost této veličiny by znamenala známou informaci o dynamice systému, a tudíž by nebyla apriorní pravděpodobností. Tedy oblast
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
při diferencování vzhledem k času t {\displaystyle t}
dává nulu (s pomocí Hamiltonových rovnic): Objem v čase t {\displaystyle t}
je stejný jako v čase nula. Lze to popsat také jako zachování informace.
V úplné kvantové teorii máme analogický zákon zachování. V tomto případě je oblast fázového prostoru nahrazena podprostorem prostoru stavů vyjádřeným pomocí projekčního operátoru P {\displaystyle P}.
, a místo pravděpodobnosti ve fázovém prostoru máme hustotu pravděpodobnosti Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}},\;\;\;N=TrP=const.,}
kde N {\displaystyle N}
je dimenzionalita podprostoru. Zákon zachování je v tomto případě vyjádřen jednotkovostí matice S. V obou případech úvahy předpokládají uzavřený izolovaný systém. Tento uzavřený izolovaný systém je systém s (1) pevnou energií E {\displayyle E}.
a (2) pevným počtem částic N {\displaystyle N}
v c) rovnovážném stavu. Uvažujeme-li obrovský počet replik tohoto systému, získáme to, co se nazývá ´mikrokanonický soubor´. Právě pro tento systém se v kvantové statistice postuluje ,,základní postulát o rovnosti apriorních pravděpodobností izolovaného systému“. Ten říká, že izolovaný systém v rovnováze zaujímá každý ze svých přístupných stavů se stejnou pravděpodobností. Tento fundamentální postulát nám tedy umožňuje přirovnat apriorní pravděpodobnost k degeneraci systému, tj. k počtu různých stavů se stejnou energií.