josgood4 / Cosmic-Four

Předpoklady

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv

Proč je 4 „kosmické“?

Zajímavé je, že pokud provedete následující postup, vždy dojdete k číslu 4 (alespoň v angličtině):

1. Začněte s libovolným celým číslem
2. Vyjádřete celé číslo slovy
3. Spočítejte počet písmen ve slovní podobě čísla
4. Vraťte se ke kroku (2) s výsledkem z kroku (3) a pokračujte, dokud nedojdete k číslu 4

Například začněte s číslem 10:

• 10 vypsané je „deset“, které má 3 písmena
• 3 vypsané je „tři“, které má 5 písmen
• 5 vypsané je „pět“, které má 4 písmena
• 4 vypsané je „čtyři“, které má 4 písmena
  ….

Pokud budete tento postup opakovat, vždy dojdete k číslu 4.

4 je „kosmické“, protože je to jediné číslo, které má stejný počet písmen jako jeho číselná hodnota.

Hlavní důkaz

Nejprve si ukážeme, že to funguje se všemi kladnými čísly:

Základní případ: 1<=n<=4

Každé z těchto čísel vede zpět k číslu 4.

Základní případ: 1<=n<=4

Každé z těchto čísel vede zpět ke čtyřce:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> ….

Induktivní krok:

Předpokládejme, že n>4 a pro všechny 0<i<n, i povede zpět ke 4. Uvažujme n+1.
Pro všechny n>4 je počet písmen ve slovním tvaru tohoto čísla menší než číselná hodnota čísla. n+1 tedy povede k menšímu (kladnému) číslu a indukcí také k číslu, které vede zpět k číslu 4.
QED

Zjednodušeně řečeno, každá iterace se stále více přibližuje k číslu 4 (zmenšováním čísla, kterým iterace začínala). Číslo nemůže mít záporný počet písmen (ani nulový počet písmen), takže to znamená, že proces vytváří stále menší a menší kladná celá čísla, až nakonec vytvoří buď 1, 2, 3, nebo 4, z nichž všechna vedou zpět ke 4, jak je uvedeno výše.

Jako další speciální případy:

• 0 -> 4
• záporná čísla -> nějaké kladné číslo -> … (jak je uvedeno výše) -> 4

Lemma: Počet písmen < Číselná hodnota

(pro n > 4)

Počet písmen versus počet čísel. Číselná hodnota

Počet písmen se výrazně zvyšuje při každém dosažení nového desetinného místa, protože ke slovnímu tvaru čísla je třeba přidat další „sto“, „tisíc“ atd. Tento nárůst není větší než dvacet písmen za každou dosaženou mocninu 10. Počet písmen tedy roste zhruba logaritmicky vzhledem k číselné hodnotě čísla, a je tedy vždy menší než jeho číselná hodnota.

Výsledky

Následující grafy ukazují výsledek provedení výše uvedeného postupu jednou pro každé číslo od 0 do 100, resp. od 0 do 10000. Jak vidíte, s rostoucími čísly se počet písmen v jejich hláskovaných verzích zvyšuje velmi pomalu, což dodává větší jistotu myšlence, že každé číslo se nakonec vrátí ke čtyřem (jak je vysvětleno výše).
(pro interaktivní verze klikněte na grafy níže)