Kvadratické rovnice

Reformátování vstupu :

Změny na vstupu by neměly mít vliv na řešení:
(1): „x2“ bylo nahrazeno „x^2“.

Řešení krok za krokem :

Pokus o faktorizaci rozdělením prostředního členu

1.1 Faktorizace x2-2x-40
První člen je, x2 jeho koeficient je 1 .
Prostřední člen je, -2x jeho koeficient je -2 .
Poslední člen, „konstanta“, je -40
Krok-1 : Vynásobte koeficient prvního členu konstantou 1 – -40 = -40
Krok-2 : Najděte dva činitele -40, jejichž součet se rovná koeficientu prostředního členu, který je -2 .

Zjištění : Žádné dva takové činitele nelze najít !!!
Závěr : Trojčlenku nelze vynásobit

Rovnice na konci 1. kroku :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Krok 2 :

Parabola, nalezení vrcholu :

2.1 Nalezení vrcholu y = x2-2x-40
Paraboly mají nejvyšší nebo nejnižší bod, který se nazývá vrchol . Naše parabola se otevírá a podle toho má nejnižší bod (AKA absolutní minimum) . Víme to ještě před vykreslením „y“, protože koeficient prvního členu, 1 , je kladný (větší než nula).
Každá parabola má svislou přímku souměrnosti, která prochází jejím vrcholem. Díky této symetrii by přímka symetrie procházela například středem dvou x -průsečíků (kořenů nebo řešení) paraboly. Tedy pokud má parabola skutečně dvě reálná řešení.
Parabola může modelovat mnoho reálných životních situací, například výšku nad zemí předmětu vyhozeného vzhůru po určité době. Vrchol paraboly nám může poskytnout informaci, například jakou maximální výšku může objekt vyhozený vzhůru dosáhnout. Z tohoto důvodu chceme být schopni zjistit souřadnice vrcholu.
Pro libovolnou parabolu Ax2+Bx+C je x -souřadnice vrcholu dána vztahem -B/(2A) . V našem případě je souřadnice x 1,0000
Posuneme-li do vzorce pro parabolu 1,0000 pro x, můžeme vypočítat y -souřadnici :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
neboť y = -41,000

Parabola, grafické znázornění vrcholu a úsečky X :

Kořenový graf pro : y = x2-2x-40
Osa symetrie (čárkovaně) {x}={ 1,00}.
Vertex v bodě {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Intercepty (kořeny) :
Kořen 1 na {x,y} = {-5.40, 0.00}
Kořen 2 při {x,y} = {7.40, 0.00}

Řešení kvadratické rovnice doplněním čtverce

2.2 Řešení x2-2x-40 = 0 doplněním čtverce .
K oběma stranám rovnice přičtěte 40 :
x2-2x = 40
Teď ta chytrá část: Vezměte koeficient x , který je 2 , vydělte jej dvěma, čímž získáte 1 , a nakonec jej odmocněte, čímž získáte 1
Přičtěte 1 k oběma stranám rovnice :
Na pravé straně máme :
40 + 1 neboli, (40/1)+(1/1)
Společný jmenovatel obou zlomků je 1 Přičtením (40/1)+(1/1) získáme 41/1
Přičtením k oběma stranám tedy nakonec dostaneme :
x2-2x+1 = 41
Přičtením 1 jsme levou stranu doplnili na dokonalý čtverec :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Věci, které se rovnají stejné věci, se rovnají i sobě navzájem. Protože
x2-2x+1 = 41 a
x2-2x+1 = (x-1)2
tak podle zákona tranzitivity,
(x-1)2 = 41
Tuto rovnici budeme označovat jako rovnici. #2.2.1
Princip odmocniny říká, že když se dvě věci rovnají, rovnají se i jejich odmocniny.
Poznamenejme, že odmocnina z
(x-1)2 je
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Při aplikaci principu odmocniny na rov. #2.2.1 dostaneme:
x-1 = √ 41
Přičtením 1 k oběma stranám dostaneme:
x = 1 + √ 41
Protože odmocnina má dvě hodnoty, jednu kladnou a druhou zápornou
x2 – 2x – 40 = 0
má dvě řešení:
x = 1 + √ 41
nebo
x = 1 – √ 41

Řešení kvadratické rovnice pomocí kvadratického vzorce

2. Jaké je řešení kvadratické rovnice?3 Řešení x2-2x-40 = 0 pomocí kvadratického vzorce .
Podle kvadratického vzorce x , řešení pro Ax2+Bx+C = 0 , kde A, B a C jsou čísla, často nazývaná koeficienty, je dáno :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
V našem případě A = 1
B = -2
C = -40
Podle toho B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Při použití kvadratického vzorce :
2 ± √ 164
x = —–
2
Můžeme √ 164 zjednodušit ?
Ano! Prvočíselná faktorizace 164 je
2-2-41
Abychom mohli něco vyjmout zpod radikálu, musí existovat 2 případy (protože bereme čtverec, tj. druhou odmocninu).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , zaokrouhleno na 4 desetinná místa, je 6.4031
Takže nyní hledáme:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Dvě reálná řešení:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
nebo:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5,403

Dvě řešení byla nalezena :

.