Fourierovy transformace funkcí reálných hodnot jsou symetrické kolem osy 0 Hz. Po vzorkování je k dispozici ještě pouze periodický součet Fourierovy transformace (tzv. Fourierova transformace v diskrétním čase). Jednotlivé frekvenčně posunuté kopie původní transformace se nazývají aliasy. Frekvenční posun mezi sousedními aliasy je vzorkovací frekvence, označovaná fs. Pokud se aliasy vzájemně vylučují (spektrálně), lze ze vzorků obnovit původní transformaci a původní spojitou funkci nebo její frekvenčně posunutou verzi (je-li to žádoucí). První a třetí graf na obrázku 1 znázorňují spektrum základního pásma před a po vzorkování s frekvencí, která zcela oddělí aliasy.
Druhý graf na obrázku 1 znázorňuje frekvenční profil pásmové funkce zabírající pásmo (A, A+B) (vystínováno modře) a její zrcadlový obraz (vystínováno béžově). Podmínkou nedestruktivní vzorkovací frekvence je, aby se aliasy obou pásem nepřekrývaly při posunu o všechny celočíselné násobky fs. Čtvrtý graf znázorňuje spektrální výsledek vzorkování stejnou rychlostí jako funkce základního pásma. Rychlost byla zvolena nalezením nejnižší rychlosti, která je celočíselným podnásobkem A a zároveň splňuje Nyquistovo kritérium pro základní pásmo: fs > 2B. V důsledku toho byla pásmová funkce účinně převedena na základní pásmo. Všechny ostatní rychlosti, které se vyhýbají překrývání, jsou dány těmito obecnějšími kritérii, kde A a A+B jsou nahrazeny fL a fH:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}}.
, pro libovolné celé číslo n splňující: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}\pravý\rfloor }
Nejvyšší n, pro které je podmínka splněna, vede k nejnižší možné vzorkovací frekvenci.
Důležitými signály tohoto druhu jsou například mezifrekvenční signál rádia (IF), radiofrekvenční signál (RF) a jednotlivé kanály banky filtrů.
Pokud n > 1, pak podmínky vedou k tomu, co se někdy označuje jako podvzorkování, pásmové vzorkování nebo použití vzorkovací frekvence menší než Nyquistova frekvence (2fH). Pro případ dané vzorkovací frekvence jsou níže uvedeny jednodušší vzorce pro omezení spektrálního pásma signálu.
Příklad: Uvažujme FM rádio pro ilustraci myšlenky podvzorkování. V USA pracuje rádio FM ve frekvenčním pásmu od fL = 88 MHz do fH = 108 MHz. Šířka pásma je dána vztahem W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }
Podmínky vzorkování jsou splněny pro 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \nad 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Proto n může být 1, 2, 3, 4 nebo 5. Hodnota n = 5 dává nejnižší interval vzorkovacích frekvencí 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43,2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }
a to je scénář podvzorkování. V tomto případě se spektrum signálu vejde mezi 2 až 2,5násobek vzorkovací frekvence (vyšší než 86,4-88 MHz, ale nižší než 108-110 MHz). Nižší hodnota n povede rovněž k užitečné vzorkovací frekvenci. Například při použití n = 4 se spektrum pásma FM snadno vejde mezi 1,5 a 2,0 násobek vzorkovací frekvence pro vzorkovací frekvenci blízkou 56 MHz (násobky Nyquistovy frekvence jsou 28, 56, 84, 112 atd.). Viz obrázky vpravo. Při podvzorkování reálného signálu musí být vzorkovací obvod dostatečně rychlý, aby zachytil nejvyšší frekvenci signálu, který nás zajímá. Teoreticky by měl být každý vzorek odebrán během nekonečně krátkého intervalu, ale to není prakticky proveditelné. Místo toho by se vzorkování signálu mělo provádět v dostatečně krátkém intervalu, aby mohlo reprezentovat okamžitou hodnotu signálu s nejvyšší frekvencí. To znamená, že ve výše uvedeném příkladu FM rádia musí být vzorkovací obvod schopen zachytit signál s frekvencí 108 MHz, nikoli 43,2 MHz. Vzorkovací frekvence tedy může být jen o málo větší než 43,2 MHz, ale vstupní šířka pásma systému musí být alespoň 108 MHz. Stejně tak přesnost časování vzorkování nebo nejistota clony vzorkovače, často analogově-digitálního převodníku, musí odpovídat vzorkovaným frekvencím 108 MHz, nikoli nižší vzorkovací frekvenci. Pokud se vzorkovací teorém interpretuje jako požadavek na dvojnásobek nejvyšší frekvence, pak by se předpokládalo, že požadovaná vzorkovací frekvence je vyšší než Nyquistova frekvence 216 MHz. To sice splňuje poslední podmínku na vzorkovací frekvenci, ale je to hrubě převzorkováno. Všimněte si, že pokud je pásmo vzorkováno s n > 1, pak je pro antialiasingový filtr vyžadován pásmový filtr namísto dolní propusti.
Jak jsme viděli, normální podmínkou základního pásma pro reverzibilní vzorkování je, že X(f) = 0 mimo interval: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}
a rekonstrukční interpolační funkce neboli impulsní odezva dolnoprůchodového filtru je sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
Pro zohlednění podvzorkování je podmínkou pásmové propusti, že X(f) = 0 mimo sjednocení otevřených kladných a záporných frekvenčních pásem
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)} }
pro nějaké kladné celé číslo n {\displaystyle n\,}
. což zahrnuje normální podmínku základního pásma jako v případě n = 1 (s tím rozdílem, že tam, kde se intervaly setkávají na frekvenci 0, mohou být uzavřené).
Odpovídající interpolační funkcí je pásmový filtr daný tímto rozdílem dolních impulsních odezv:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}}\right)}
.
Na druhou stranu rekonstrukce obvykle není cílem u vzorkovaných signálů IF nebo RF. Vzorkovací posloupnost lze spíše považovat za obyčejné vzorky signálu frekvenčně posunutého do blízkosti základního pásma a na tomto základě lze postupovat při digitální demodulaci s rozpoznáním zrcadlení spektra, je-li n sudé.
Další zobecnění podvzorkování pro případ signálů s více pásmy je možné a signálů nad vícerozměrnými oblastmi (prostor nebo časoprostor) a podrobně je rozpracoval Igor Kluvánek.