A priori-sandsynligheden har en vigtig anvendelse inden for statistisk mekanik. Den klassiske version er defineret som forholdet mellem antallet af elementære hændelser (f.eks. antallet af gange en terning kastes) og det samlede antal hændelser – og disse betragtes rent deduktivt, dvs. uden eksperimenter. I tilfældet med terningen, hvis vi ser på den på bordet uden at kaste den, ræsonneres deduktivt, at hver enkelt elementær begivenhed har den samme sandsynlighed – således er sandsynligheden for hvert resultat af et imaginært kast af den (perfekte) terning eller blot ved at tælle antallet af flader 1/6. Hver side af terningen optræder med samme sandsynlighed – sandsynligheden er et mål, der er defineret for hver enkelt elementær begivenhed. Resultatet er anderledes, hvis vi kaster terningen tyve gange og spørger, hvor mange gange (ud af 20) tallet 6 optræder på den øverste side. I dette tilfælde kommer tiden i spil, og vi har en anden type sandsynlighed afhængigt af tiden eller antallet af gange, terningen kastes. På den anden side er sandsynligheden på forhånd uafhængig af tiden – man kan se på terningen på bordet så længe man vil uden at røre den, og man kan udlede, at sandsynligheden for, at tallet 6 vises på den øverste side, er 1/6.
I statistisk mekanik, f.eks. den for en gas indeholdt i et endeligt volumen V {\displaystyle V}
, er både de rumlige koordinater q i {\displaystyle q_{i}}
og impulskoordinaterne p i {\displaystyle p_{i}}
af de enkelte gaselementer (atomer eller molekyler) er finite i det faserum, der dækkes af disse koordinater. I analogi med tilfældet med terningen er den a priori sandsynlighed her (i tilfælde af et kontinuum) proportional med fasens rumvolumenelement Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
divideret med h {\displaystyle h}
, og er antallet af stående bølger (dvs. tilstande) heri, hvor Δ q {\displaystyle \Delta q}
er området for variablen q {\displaystyle q}
og Δ p {\displaystyle \Delta p}
er intervallet for variablen p {\displaystyle p}
(her for enkelhedens skyld betragtet i én dimension). I 1 dimension (længde L {\displaystyle L}
) er dette tal eller denne statistiske vægt eller a priori vægtning L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. I sædvanlige 3 dimensioner (volumen V {\displaystyle V}
) kan det tilsvarende tal beregnes til at være V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}}
. For at forstå denne mængde som et antal tilstande i kvantemekanikken (dvs. bølge) skal man huske på, at i kvantemekanikken er hver partikel forbundet med en stofbølge, som er løsningen på en Schrödinger-ligning. I tilfælde af frie partikler (med energi ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}}^{2}/2m}
) som dem af en gas i en kasse med volumen V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}}
en sådan stofbølge er eksplicit ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
hvor l , m , n {\displaystyle l,m,n}
er hele tal. Antallet af forskellige ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
værdier og dermed tilstande i området mellem p , p + d p , p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
findes derefter at være det ovenstående udtryk V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}}
ved at betragte det område, der dækkes af disse punkter. I betragtning af usikkerhedsrelationen, som i 1 rumlig dimension er Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
er disse tilstande ikke til at skelne fra hinanden (dvs. at disse tilstande ikke bærer etiketter). En vigtig konsekvens heraf er et resultat, der er kendt som Liouvilles sætning, dvs. tidsmæssig uafhængighed af dette element af fasens rumvolumen og dermed af den a priori-sandsynlighed. En tidsafhængighed af denne størrelse ville indebære kendte oplysninger om systemets dynamik og ville derfor ikke være en a priori-sandsynlighed. Således er området
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}}},\;\;\;\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
når den differentieres i forhold til tiden t {\displaystyle t}
giver nul (ved hjælp af Hamiltons ligninger): Volumenet til tiden t {\displaystyle t}
er den samme som til tidspunktet nul. Man beskriver dette også som bevarelse af information.
I den fulde kvanteteori har man en analog bevarelseslov. I dette tilfælde erstattes faserumsregionen af et underrum af tilstandsrummet udtrykt i form af en projektionsoperator P {\displaystyle P}
, og i stedet for sandsynligheden i faserummet har man sandsynlighedstætheden Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {{\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}}},\;\;\;\;N=TrP=const.,}
hvor N {\displaystyle N}
er dimensionaliteten af underrummet. Bevaringsloven i dette tilfælde udtrykkes ved S-matrixens enhedstykkelse. I begge tilfælde forudsætter overvejelserne et lukket isoleret system. Dette lukkede isolerede system er et system med (1) en fast energi E {\displaystyle E}
og (2) et fast antal partikler N {\displaystyle N}
i (c) en ligevægtstilstand. Hvis man betragter et stort antal kopier af dette system, opnår man det, der kaldes et “mikrokanonisk ensemble´´. Det er for dette system, at man i kvantestatistikken postulerer “det fundamentale postulat om ens a priori-sandsynligheder for et isoleret system”. Dette siger, at det isolerede system i ligevægt indtager hver af sine tilgængelige tilstande med samme sandsynlighed. Dette fundamentale postulat giver os derfor mulighed for at sætte lighedstegn mellem a priori-sandsynligheden og systemets degeneration, dvs. antallet af forskellige tilstande med samme energi.