josgood4 / Cosmic-Four

Forudsætninger

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv
• pip install csv

Hvorfor er 4 “kosmisk”?

Interessant nok vil man, hvis man udfører følgende procedure, altid komme frem til tallet 4 (i det mindste på engelsk):

1. Begynd med et vilkårligt heltal
2. Beskriv heltallet i ord
3. Tæl antallet af bogstaver i ordformen af tallet
4. Vend tilbage til trin (2) med resultatet fra trin (3) og fortsæt, indtil du når frem til 4

For eksempel, hvis du begynder med tallet 10:

• 10 stavet ud er “ti,” som har 3 bogstaver
• 3 stavet ud er “tre,” som har 5 bogstaver
• 5 stavet ud er “fem,” som har 4 bogstaver
• 4 stavet ud er “fire,” som har 4 bogstaver
  …

Hvis du fortsætter med at gentage denne proces, vil du altid nå frem til tallet 4.

4 er “kosmisk”, fordi det er det eneste tal, der har det samme antal bogstaver som dets numeriske værdi.

Hovedbevis

Først skal vi vise, at dette virker med alle positive tal:

Basistilfælde: 1<=n<=4

Hvert af disse tal fører tilbage til 4:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> …

Induktivt trin:

Antag, at n>4 og for alle 0<i<n, vil i føre tilbage til 4. Overvej n+1.
For alle n>4 er antallet af bogstaver i ordformen af dette tal mindre end talets numeriske værdi. n+1 vil således føre til et mindre (positivt) tal, og ved induktion et tal, der også fører tilbage til 4.
QED

For at sige det på enklere vis kommer hver iteration tættere og tættere på tallet 4 (ved at skrumpe det tal, som iterationen startede med). Et tal kan ikke have et negativt antal bogstaver (og heller ikke nul bogstaver), så det betyder, at processen producerer mindre og mindre positive hele tal, indtil den til sidst producerer enten et 1, 2, 3 eller 4, som alle fører tilbage til 4, som vist ovenfor.

Som for andre specialtilfælde:

• 0 -> 4
• negative tal -> et eller andet positivt tal -> … (som vist ovenfor) -> 4

Lemma: Bogstavtal < numerisk værdi

(for n > 4)

Bogstavtal vs. Numerisk værdi

Bogstavtallet stiger betydeligt, hver gang der nås en ny decimalplads, da der skal tilføjes et ekstra “hundrede”, “tusind” osv. til talets ordform. Denne forøgelse er ikke mere end tyve bogstaver for hver potens af 10, der nås. Bogstavtallet stiger således nogenlunde logaritmisk i forhold til tallets numeriske værdi, og er således altid mindre end dets numeriske værdi.

Resultater

De følgende diagrammer viser resultatet af at udføre ovenstående proces én gang pr. tal fra henholdsvis 0 til 100 og fra 0 til 10000. Som du kan se, stiger antallet af bogstaver i de stavede versioner af tallene meget langsomt, efterhånden som tallene bliver større, hvilket giver større tillid til idéen om, at hvert tal i sidste ende vil vende tilbage til fire (som forklaret ovenfor).
(klik på diagrammerne nedenfor for at se interaktive versioner)