kvadratiske ligninger

Reformatering af input :

Ændringer foretaget i dit input bør ikke påvirke løsningen:
(1): “x2” blev erstattet med “x^2”.

Strin for trin-løsning :

forsøg på at faktorisere ved at opdele den midterste term

1.1 Factoring x2-2x-40
Den første term er, x2 dens koefficient er 1 .
Den midterste term er, -2x dens koefficient er -2 .
Den sidste term, “konstanten”, er -40
Strg-1 : Multiplicer koefficienten af den første term med konstanten 1 – -40 = -40
Strg-2 : Find to faktorer af -40, hvis sum er lig med koefficienten af den midterste term, som er -2 .

Observation : Der kan ikke findes to sådanne faktorer !!!
Slutning : Trinomium kan ikke faktoriseres

Stilling ved slutningen af trin 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Strin 2 :

Parabola, finde toppunktet :

2.1 Find toppunktet for y = x2-2x-40
Paraboler har et højeste eller et laveste punkt kaldet toppunktet . Vores parabel åbner sig op og har følgelig et laveste punkt (AKA absolut minimum) . Vi ved dette, allerede inden vi tegner “y”, fordi koefficienten for det første udtryk, 1 , er positiv (større end nul).
Hver parabel har en lodret symmetrilinje, der går gennem dens toppunkt . På grund af denne symmetri vil symmetrilinjen f.eks. gå gennem midtpunktet af de to x -skæringspunkter (rødder eller løsninger) af parablen. Det vil sige, hvis parablen faktisk har to reelle løsninger.
Paraboler kan modellere mange situationer i det virkelige liv, f.eks. højden over jorden for en genstand, der kastes opad, efter et vist tidsrum. Parablens toppunkt kan give os oplysninger, f.eks. om den maksimale højde, som den genstand, der kastes opad, kan nå. Derfor ønsker vi at kunne finde koordinaterne for toppunktet.
For enhver parabel,Ax2+Bx+C,er toppunktets x -koordinat givet ved -B/(2A) . I vores tilfælde er x -koordinaten 1,0000
Ved hjælp af parabelformlen 1,0000 for x kan vi udregne y -koordinaten :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
eller y = -41.000

Parabola, grafering af toppunkt og X-intercepter :

Rødplot for : y = x2-2x-40
Symmetriakse (stiplet) {x}={ 1.00}
Spids ved {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Intercepter (rødder) :
Rod 1 ved {x,y} = {-5.40, 0.00}
Rod 2 ved {x,y} = { 7.40, 0.00}

Løs kvadratisk ligning ved at fuldende kvadratet

2.2 Løsning af x2-2x-40 = 0 ved at fuldende kvadratet .
Tilføj 40 til begge sider af ligningen .
Tilføj 40 til begge sider af ligningen :
x2-2x = 40
Nu kommer den smarte del: Tag koefficienten for x , som er 2 , divider med to, hvilket giver 1 , og til sidst kvadrerer du den, hvilket giver 1
Tilføj 1 til begge sider af ligningen :
På højre side har vi :
40 + 1 eller, (40/1)+(1/1)
Den fællesnævner for de to brøker er 1 Ved at tilføje (40/1)+(1/1) får vi 41/1
Så ved at tilføje til begge sider får vi til sidst :
x2-2x+1 = 41
Tilføjelse af 1 har fuldendt venstre side til et perfekt kvadrat :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Ting, der er lig med den samme ting, er også lig med hinanden. Da
x2-2x+1 = 41 og
x2-2x+1 = (x-1)2
så er ifølge loven om transitivitet,
(x-1)2 = 41
Vi kalder denne ligning for Eq. #2.2.1
Kvadratrodsprincippet siger, at når to ting er lige store, er deres kvadratrødder lige store.
Bemærk, at kvadratroden af
(x-1)2 er
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Nu kan man ved at anvende kvadratrodsprincippet på Eq. #2.2.1 får vi:
x-1 = √ 41
Tilføj 1 til begge sider for at få:
x = 1 + √ 41
Da en kvadratrod har to værdier, den ene positiv og den anden negativ
x2 – 2x – 40 = 0
har to løsninger:
x = 1 + √ 41
eller
x = 1 – √ 41

Løs en kvadratisk ligning ved hjælp af den kvadratiske formel

2.3 Løsning af x2-2x-40 = 0 ved hjælp af den kvadratiske formel .
I henhold til den kvadratiske formel, x , er løsningen til Ax2+Bx+C = 0 , hvor A, B og C er tal, ofte kaldet koefficienter, givet ved :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
I vores tilfælde er A = 1
B = -2
C = -40
I overensstemmelse hermed er B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Ved anvendelse af den kvadratiske formel :
2 ± √ 164
x = —–
2
Kan √ 164 forenkles ?
Ja! Primfaktoriseringen af 164 er
2-2-2-41
For at kunne fjerne noget under radikalen skal der være 2 tilfælde af det (fordi vi tager en kvadrat, dvs. anden rod).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , afrundet til 4 decimaler, er 6.4031
Så nu ser vi på:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
To reelle løsninger:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
eller:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Der blev fundet to løsninger :