Undersampling

Fouriertransformationerne af realværdifunktioner er symmetriske omkring 0 Hz-aksen. Efter prøvetagning er kun en periodisk summering af Fouriertransformationen (kaldet diskret tids-Fouriertransformation) stadig tilgængelig. De enkelte frekvensforskydede kopier af den oprindelige transformation kaldes aliaser. Frekvensforskydningen mellem tilstødende aliaser er samplingfrekvensen, der betegnes med fs. Når aliasserne er gensidigt udelukkende (spektralt), kan den oprindelige transformation og den oprindelige kontinuerte funktion eller en frekvensforskudt version af den (hvis det ønskes) genfindes ud fra prøverne. Den første og tredje graf i figur 1 viser et basisbåndsspektrum før og efter sampling med en hastighed, der fuldstændig adskiller aliasserne.

Den anden graf i figur 1 viser frekvensprofilen for en båndpasfunktion, der optager båndet (A, A+B) (med blå skygge) og dens spejlbillede (med beige skygge). Betingelsen for en ikke-destruktiv prøvefrekvens er, at aliaserne i begge bånd ikke overlapper hinanden, når de forskydes med alle hele multipla af fs. Den fjerde graf viser det spektrale resultat af en prøveudtagning med samme hastighed som basisbåndsfunktionen. Hastigheden blev valgt ved at finde den laveste hastighed, der er et heltal undermultiplikator af A, og som også opfylder Nyquist-kriteriet for basisbånd: fs > 2B. Bandpasfunktionen er således reelt blevet omdannet til basisbånd. Alle de andre hastigheder, der undgår overlapning, er givet ved disse mere generelle kriterier, hvor A og A+B erstattes af henholdsvis fL og fH:

2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}}{n}}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}}{n-1}}}}

, for ethvert heltal n, der opfylder: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}}{f_{H}-f_{L}}}}\right\rfloor }

Den højeste n, for hvilken betingelsen er opfyldt, fører til de lavest mulige samplingfrekvenser.

Vigtige signaler af denne art omfatter en radios mellemfrekvens (IF), radiofrekvenssignal (RF) og de enkelte kanaler i en filterbank.

Hvis n > 1, resulterer betingelserne i det, der undertiden kaldes undersampling, bandpass-sampling eller anvendelse af en samplingfrekvens, der er mindre end Nyquist-frekvensen (2fH). For en given samplingfrekvens er der nedenfor angivet enklere formler for begrænsningerne for signalets spektralbånd.

Spektrum af FM-radiobåndet (88-108 MHz) og dets basisbåndsalias under 44 MHz (n = 5) sampling. Der kræves et antialiasfilter ret tæt på FM-radiobåndet, og der er ikke plads til stationer på nærliggende udvidelseskanaler som f.eks. 87,9 uden aliasing.

Spektrum af FM-radiobåndet (88-108 MHz) og dets basbåndsalias under 56 MHz (n = 4) sampling, hvilket viser masser af plads til båndpas-antialiasfilterovergangsbånd. Grundbåndsbilledet er frekvensomvendt i dette tilfælde (lige n).

Eksempel: Eksempel: FM-radio til at illustrere ideen om undersampling. I USA opererer FM-radio på frekvensbåndet fra fL = 88 MHz til fH = 108 MHz. Båndbredden er givet ved W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }

Prøveudtagningsbetingelserne er opfyldt for 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\loor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }

Derfor kan n være 1, 2, 3, 3, 4 eller 5. Værdien n = 5 giver det laveste samplingfrekvensinterval 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\\mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44 \\mathrm {MHz} }

og dette er et scenarie med underprøvetagning. I dette tilfælde passer signalspektret mellem 2 og 2,5 gange samplingfrekvensen (højere end 86,4-88 MHz, men lavere end 108-110 MHz). En lavere værdi af n vil også føre til en brugbar samplingfrekvens. Hvis man f.eks. anvender n = 4, passer FM-båndspektret let mellem 1,5 og 2,0 gange samplingfrekvensen, hvilket giver en samplingfrekvens nær 56 MHz (multipla af Nyquist-frekvensen er 28, 56, 84, 112 osv.). Se illustrationerne til højre. Ved underafprøvning af et signal fra den virkelige verden skal afprøvningskredsløbet være hurtigt nok til at opfange den højeste signalfrekvens af interesse. Teoretisk set skal hver prøve tages i et uendeligt kort interval, men dette er ikke praktisk muligt. I stedet bør prøvetagningen af signalet foretages i et interval, der er kort nok til, at det kan repræsentere den øjeblikkelige værdi af signalet med den højeste frekvens. Det betyder, at i FM-radioeksemplet ovenfor skal samplingskredsløbet kunne opfange et signal med en frekvens på 108 MHz og ikke 43,2 MHz. Prøvetagningsfrekvensen kan således kun være en lille smule højere end 43,2 MHz, men systemets indgangsbåndbredde skal være mindst 108 MHz. På samme måde skal nøjagtigheden af prøvetagningstidspunktet eller prøvetagerens – ofte analog-til-digital-konverterens – aperture-usikkerhed være passende for de frekvenser, der afprøves med 108 MHz og ikke med den lavere prøvetagningsfrekvens. Hvis samplingsteoremet fortolkes som et krav om dobbelt så høj en frekvens som den højeste frekvens, vil den krævede samplingfrekvens antages at være større end Nyquist-frekvensen 216 MHz. Selv om dette opfylder den sidste betingelse for samplingfrekvensen, er der tale om en grov oversampling. Bemærk, at hvis et bånd samples med n > 1, er der behov for et båndpasfilter som antialiasingfilter i stedet for et lavpasfilter.

Som vi har set, er den normale basisbåndsbetingelse for reversibel sampling, at X(f) = 0 uden for intervallet: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}}f_{{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}}f_{{\mathrm {s} }\right),}

og den rekonstruktive interpolationsfunktion, eller lavpasfilterimpulsrespons, er sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}

For at tage højde for undersampling er båndpasbetingelsen, at X(f) = 0 uden for foreningen af åbne positive og negative frekvensbånd

( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}}f_{{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}}f_{{{\mathrm {s} }\right)}

for et positivt heltal n {\displaystyle n\,}

. hvilket omfatter den normale basisbåndsbetingelse som i tilfælde n = 1 (bortset fra at hvor intervallerne mødes ved 0 frekvens, kan de være lukkede).

Den tilsvarende interpolationsfunktion er det båndpasfilter, der er givet ved denne forskel mellem lavpasimpulsresponser:

n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}}\right)}

.

På den anden side er rekonstruktion normalt ikke målet med samplede IF- eller RF-signaler. Snarere kan prøvefølgen behandles som almindelige prøver af signalet frekvensforskudt til nær basebåndet, og digital demodulering kan foregå på dette grundlag, idet man anerkender spektrumspejling, når n er lige.

Der er mulighed for yderligere generaliseringer af undersampling i tilfælde af signaler med flere bånd og signaler over flerdimensionale domæner (rum eller rum-tid) og er blevet udarbejdet i detaljer af Igor Kluvánek.