Viele Bereiche der Mathematik begannen mit der Untersuchung von Problemen der realen Welt, bevor die zugrunde liegenden Regeln und Konzepte identifiziert und als abstrakte Strukturen definiert wurden. Zum Beispiel hat die Geometrie ihren Ursprung in der Berechnung von Entfernungen und Flächen in der realen Welt; die Algebra begann mit Methoden zur Lösung von Problemen in der Arithmetik.
Abstraktion ist ein fortlaufender Prozess in der Mathematik, und die historische Entwicklung vieler mathematischer Themen zeigt eine Progression vom Konkreten zum Abstrakten. So wurden beispielsweise die ersten Schritte zur Abstraktion der Geometrie von den alten Griechen unternommen, wobei Euklids Elemente die früheste erhaltene Dokumentation der Axiome der ebenen Geometrie sind – obwohl Proklos von einer früheren Axiomatisierung durch Hippokrates von Chios berichtet. Im 17. Jahrhundert führte Descartes die kartesischen Koordinaten ein, die die Entwicklung der analytischen Geometrie ermöglichten. Weitere Abstraktionsschritte wurden von Lobatschewski, Bolyai, Riemann und Gauß unternommen, die die Konzepte der Geometrie verallgemeinerten und nicht-euklidische Geometrien entwickelten. Später im 19. Jahrhundert verallgemeinerten die Mathematiker die Geometrie noch weiter und entwickelten Bereiche wie die Geometrie in n Dimensionen, projektive Geometrie, affine Geometrie und endliche Geometrie. Felix Kleins „Erlanger Programm“ schließlich identifizierte das allen diesen Geometrien zugrunde liegende Thema und definierte jede von ihnen als die Untersuchung von Eigenschaften, die unter einer bestimmten Gruppe von Symmetrien invariant sind. Diese Abstraktionsebene offenbarte Verbindungen zwischen Geometrie und abstrakter Algebra.
In der Mathematik kann Abstraktion auf folgende Weise von Vorteil sein:
- Sie offenbart tiefe Verbindungen zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik.
- Bekannte Ergebnisse in einem Bereich können Vermutungen in einem anderen verwandten Bereich nahelegen.
- Techniken und Methoden aus einem Gebiet können angewandt werden, um Ergebnisse in anderen verwandten Gebieten zu beweisen.
- Muster eines mathematischen Objekts können auf andere ähnliche Objekte derselben Klasse verallgemeinert werden.
Andererseits kann Abstraktion auch nachteilig sein, da stark abstrakte Konzepte schwer zu erlernen sein können. Ein gewisses Maß an mathematischer Reife und Erfahrung kann erforderlich sein, um Abstraktionen begrifflich zu assimilieren. Eines der grundlegenden Prinzipien des Montessori-Ansatzes in der mathematischen Erziehung ist es daher, die Kinder zu ermutigen, von konkreten Beispielen zum abstrakten Denken überzugehen.
Bertrand Russell schreibt in The Scientific Outlook (1931): „Die gewöhnliche Sprache ist völlig ungeeignet, um auszudrücken, was die Physik wirklich behauptet, da die Worte des täglichen Lebens nicht abstrakt genug sind. Nur die Mathematik und die mathematische Logik können so wenig sagen, wie der Physiker zu sagen meint.“