josgood4 / Cosmic-Four

Voraussetzungen

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv

Warum ist 4 „kosmisch“?

Interessanterweise kommt man, wenn man die folgende Prozedur durchführt, immer auf die Zahl 4 (zumindest in der englischen Sprache):

1. Beginne mit einer beliebigen ganzen Zahl
2. Buchstabiere die ganze Zahl in Worten
3. Zähle die Anzahl der Buchstaben in der Wortform der Zahl
4. Kehre mit dem Ergebnis aus Schritt (3) zu Schritt (2) zurück und fahre fort, bis du 4 erreichst

Zum Beispiel, beginnend mit der Zahl 10:

• 10 ausgeschrieben ist „zehn“, das hat 3 Buchstaben
• 3 ausgeschrieben ist „drei“, das hat 5 Buchstaben
• 5 ausgeschrieben ist „fünf“, das hat 4 Buchstaben
• 4 ausgeschrieben ist „vier“, das hat 4 Buchstaben
  ….

Wenn du diesen Prozess weiter wiederholst, wirst du immer bei der Zahl 4 ankommen.

4 ist „kosmisch“, weil sie die einzige Zahl ist, die die gleiche Anzahl von Buchstaben hat wie ihr numerischer Wert.

Hauptbeweis

Zunächst soll gezeigt werden, dass dies mit allen positiven Zahlen funktioniert:

Basisfall: 1<=n<=4

Jede dieser Zahlen führt zurück zu 4:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> ….

Induktiver Schritt:

Angenommen, n>4 und für alle 0<i<n führt i auf 4 zurück. Betrachten wir n+1.
Für alle n>4 ist die Anzahl der Buchstaben in der Wortform dieser Zahl kleiner als der numerische Wert der Zahl. n+1 führt also zu einer kleineren (positiven) Zahl und durch Induktion auch wieder zu 4.
QED

Vereinfacht ausgedrückt, nähert sich jede Iteration immer mehr der Zahl 4 an (indem die Zahl, mit der die Iteration begann, verkleinert wird). Eine Zahl kann keine negative Anzahl von Buchstaben haben (und auch keine Null). Das bedeutet, dass der Prozess immer kleinere positive Zahlen produziert, bis er schließlich entweder eine 1, 2, 3 oder 4 produziert, die alle zu 4 zurückführen, wie oben gezeigt.

Wie für andere Spezialfälle:

• 0 -> 4
• negative Zahlen -> eine positive Zahl -> … (wie oben gezeigt) -> 4

Lemma: Buchstabenzahl < Zahlenwert

(für n > 4)

Buchstabenzahl vs. Zahlenwert

Die Buchstabenzahl erhöht sich jedes Mal erheblich, wenn eine neue Dezimalstelle erreicht wird, da ein zusätzliches „Hundert“, „Tausend“ usw. zur Wortform der Zahl hinzugefügt werden muss. Diese Zunahme beträgt nicht mehr als zwanzig Buchstaben für jede erreichte Potenz von 10. Die Anzahl der Buchstaben steigt also in etwa logarithmisch zum Zahlenwert der Zahlen und ist somit immer kleiner als ihr Zahlenwert.

Ergebnisse

Die folgenden Diagramme zeigen das Ergebnis, wenn der oben beschriebene Prozess einmal pro Zahl von 0 bis 100 bzw. von 0 bis 10000 durchgeführt wird. Wie Sie sehen können, nimmt die Anzahl der Buchstaben in ihren buchstabierten Versionen sehr langsam zu, wenn die Zahlen größer werden, was der Idee mehr Vertrauen verleiht, dass jede Zahl schließlich auf vier zurückgeht (wie oben erklärt).
(klicken Sie auf die Diagramme unten für interaktive Versionen)