Quadratische Gleichungen

Formatierung der Eingabe:

Änderungen an der Eingabe sollten die Lösung nicht beeinflussen:
(1): „x2“ wurde durch „x^2“ ersetzt.

Schrittweise Lösung:

Versuchen Sie zu faktorisieren, indem Sie den mittleren Term aufspalten

1.1 Faktorisierung von x2-2x-40
Der erste Term ist, x2 sein Koeffizient ist 1 .
Der mittlere Term ist, -2x sein Koeffizient ist -2 .
Der letzte Term, „die Konstante“, ist -40
Schritt-1 : Multipliziere den Koeffizienten des ersten Terms mit der Konstante 1 – -40 = -40
Schritt-2 : Finde zwei Faktoren von -40, deren Summe gleich dem Koeffizienten des mittleren Terms ist, der -2 ist.

Beobachtung : Es können keine zwei solcher Faktoren gefunden werden !!!
Schlussfolgerung : Trinom kann nicht faktorisiert werden

Gleichung am Ende von Schritt 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Schritt 2 :

Parabel, Finden des Scheitelpunktes :

2.1 Finde den Scheitelpunkt von y = x2-2x-40
Parabeln haben einen höchsten oder einen tiefsten Punkt, der Scheitelpunkt genannt wird. Unsere Parabel öffnet sich und hat dementsprechend einen tiefsten Punkt (AKA absolutes Minimum) . Das wissen wir schon vor dem Einzeichnen von „y“, denn der Koeffizient des ersten Terms, 1 , ist positiv (größer als Null).
Jede Parabel hat eine vertikale Symmetrielinie, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft. Wegen dieser Symmetrie würde die Symmetrielinie zum Beispiel durch den Mittelpunkt der beiden x -Abschnitte (Wurzeln oder Lösungen) der Parabel gehen. Das heißt, wenn die Parabel tatsächlich zwei reelle Lösungen hat.
Parabeln können viele reale Situationen modellieren, wie z.B. die Höhe über dem Boden eines Gegenstandes, der nach einer gewissen Zeit nach oben geworfen wird. Der Scheitelpunkt der Parabel kann uns Informationen liefern, wie z. B. die maximale Höhe, die ein nach oben geworfener Gegenstand erreichen kann. Aus diesem Grund wollen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen können.
Für jede Parabel,Ax2+Bx+C,ist die x -Koordinate des Scheitelpunkts durch -B/(2A) gegeben. In unserem Fall ist die x-Koordinate 1,0000
Setzen wir die Parabelformel 1,0000 für x ein, so können wir die y-Koordinate berechnen:
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
oder y = -41,000

Parabel, Scheitelpunkt und X-Schnittpunkte grafisch darstellen :

Wurzeldarstellung für : y = x2-2x-40
Symmetrieachse (gestrichelt) {x}={ 1,00}
Wertex bei {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Abschnitte (Wurzeln) :
Wurzel 1 bei {x,y} = {-5.40, 0.00}
Wurzel 2 bei {x,y} = { 7.40, 0.00}

Quadratische Gleichung durch Vervollständigen des Quadrats lösen

2.2 Lösen von x2-2x-40 = 0 durch Vervollständigen des Quadrats .
Hinzufügen von 40 zu beiden Seiten der Gleichung :
x2-2x = 40
Jetzt kommt der clevere Teil: Nimm den Koeffizienten von x , der 2 ist, teile ihn durch zwei, was 1 ergibt, und quadriere ihn schließlich, was 1 ergibt
Addiere 1 zu beiden Seiten der Gleichung :
Auf der rechten Seite haben wir :
40 + 1 oder, (40/1)+(1/1)
Der gemeinsame Nenner der beiden Brüche ist 1Das Addieren von (40/1)+(1/1) ergibt 41/1
So erhalten wir schließlich durch Addieren zu beiden Seiten :
x2-2x+1 = 41
Das Hinzufügen von 1 hat die linke Seite zu einem perfekten Quadrat vervollständigt :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Dinge, die gleich sind, sind auch gleich zueinander. Da
x2-2x+1 = 41 und
x2-2x+1 = (x-1)2
dann ist nach dem Transitivitätsgesetz
(x-1)2 = 41
Wir bezeichnen diese Gleichung als Gleichung. #2.2.1
Das Quadratwurzelprinzip besagt, dass, wenn zwei Dinge gleich sind, ihre Quadratwurzeln gleich sind.
Beachte, dass die Quadratwurzel von
(x-1)2 gleich
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Wenn man nun das Quadratwurzelprinzip auf Gl. #2.2.1 erhalten wir:
x-1 = √ 41
Addiere 1 zu beiden Seiten, um zu erhalten:
x = 1 + √ 41
Da eine Quadratwurzel zwei Werte hat, einen positiven und den anderen negativen
x2 – 2x – 40 = 0
, hat sie zwei Lösungen:
x = 1 + √ 41
oder
x = 1 – √ 41

Quadratische Gleichung mit der Quadratischen Formel lösen

2.3 Lösen von x2-2x-40 = 0 mit der quadratischen Formel .
Nach der Quadratischen Formel, x , ist die Lösung für Ax2+Bx+C = 0 , wobei A, B und C Zahlen sind, die oft Koeffizienten genannt werden, gegeben durch :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
In unserem Fall ist A = 1
B = -2
C = -40
Dementsprechend ist B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Anwendung der quadratischen Formel :
2 ± √ 164
x = —–
2
Kann √ 164 vereinfacht werden?
Ja! Die Primfaktorzerlegung von 164 ist
2-2-41
Um etwas unter dem Radikal entfernen zu können, muss es 2 Instanzen davon geben (weil wir ein Quadrat nehmen, d.h. die zweite Wurzel).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , gerundet auf 4 Dezimalstellen, ist 6.4031
Wir haben es also mit:
x = ( 2 ± 2 – 6.403 ) / 2
zwei reellen Lösungen:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
oder:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5,403

Zwei Lösungen wurden gefunden: