Die Fourier-Transformationen von reellwertigen Funktionen sind symmetrisch um die 0-Hz-Achse. Nach der Abtastung ist nur noch eine periodische Summation der Fouriertransformation (zeitdiskrete Fouriertransformation genannt) vorhanden. Die einzelnen frequenzverschobenen Kopien der Originaltransformation werden als Aliase bezeichnet. Der Frequenzabstand zwischen benachbarten Aliasen ist die Abtastrate, die mit fs bezeichnet wird. Wenn sich die Aliase gegenseitig ausschließen (spektral), können die Originaltransformation und die ursprüngliche kontinuierliche Funktion oder eine frequenzverschobene Version davon (falls gewünscht) aus den Abtastwerten wiederhergestellt werden. Das erste und das dritte Diagramm in Abbildung 1 zeigen ein Basisbandspektrum vor und nach der Abtastung mit einer Rate, die die Aliase vollständig trennt.
Das zweite Diagramm in Abbildung 1 zeigt das Frequenzprofil einer Bandpassfunktion, die das Band (A, A+B) (blau schattiert) und ihr Spiegelbild (beige schattiert) belegt. Die Bedingung für eine zerstörungsfreie Abtastrate ist, dass sich die Aliase der beiden Bänder nicht überlappen, wenn sie um alle ganzzahligen Vielfachen von fs verschoben werden. Das vierte Diagramm zeigt das spektrale Ergebnis der Abtastung mit der gleichen Rate wie die Basisbandfunktion. Die Rate wurde gewählt, indem die niedrigste Rate gefunden wurde, die ein ganzzahliges Vielfaches von A ist und auch das Nyquist-Kriterium für das Basisband erfüllt: fs > 2B. Folglich wurde die Bandpassfunktion effektiv in ein Basisband umgewandelt. Alle anderen Raten, die eine Überlappung vermeiden, sind durch diese allgemeineren Kriterien gegeben, wobei A und A+B durch fL bzw. fH ersetzt werden:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}
, für jede ganze Zahl n, die erfüllt: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}right\rfloor }
Das höchste n, für das die Bedingung erfüllt ist, führt zu den niedrigsten möglichen Abtastraten.
Wichtige Signale dieser Art sind z. B. das Zwischenfrequenzsignal (ZF) eines Radios, das Hochfrequenzsignal (HF) und die einzelnen Kanäle einer Filterbank.
Wenn n > 1 ist, dann führt die Bedingung zu dem, was manchmal als Unterabtastung, Bandpassabtastung oder Verwendung einer Abtastrate unterhalb der Nyquist-Rate (2fH) bezeichnet wird. Für den Fall einer gegebenen Abtastfrequenz werden im Folgenden einfachere Formeln für die Beschränkungen des Spektralbandes des Signals angegeben.
Beispiel: Betrachten Sie FM-Radio, um die Idee der Unterabtastung zu veranschaulichen. In den USA wird FM-Radio auf dem Frequenzband von fL = 88 MHz bis fH = 108 MHz betrieben. Die Bandbreite ist gegeben durch W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }
Die Abtastbedingungen sind für 1 ≤ n ≤ ⌊ 5 erfüllt.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \über 20\ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Daher kann n 1, 2, 3, 4 oder 5 sein. Der Wert n = 5 ergibt das niedrigste Abtastfrequenzintervall 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz}} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }
und dies ist ein Szenario der Unterabtastung. In diesem Fall passt das Signalspektrum zwischen dem 2- und 2,5-fachen der Abtastrate (höher als 86,4-88 MHz, aber niedriger als 108-110 MHz). Ein niedrigerer Wert von n führt ebenfalls zu einer brauchbaren Abtastrate. Bei n = 4 beispielsweise passt das Spektrum des FM-Bandes leicht auf das 1,5- bis 2,0-fache der Abtastrate, was einer Abtastrate von fast 56 MHz entspricht (Vielfache der Nyquist-Frequenz sind 28, 56, 84, 112 usw.). Siehe die Abbildungen auf der rechten Seite. Bei der Unterabtastung eines realen Signals muss der Abtastschaltkreis schnell genug sein, um die höchste Signalfrequenz von Interesse zu erfassen. Theoretisch sollte jede Abtastung in einem unendlich kurzen Intervall erfolgen, aber das ist praktisch nicht machbar. Stattdessen sollte die Abtastung des Signals in einem so kurzen Intervall erfolgen, dass sie den Momentanwert des Signals mit der höchsten Frequenz darstellen kann. Im obigen Beispiel des UKW-Radios bedeutet dies, dass die Abtastschaltung in der Lage sein muss, ein Signal mit einer Frequenz von 108 MHz und nicht 43,2 MHz zu erfassen. Die Abtastfrequenz darf also nur geringfügig höher als 43,2 MHz sein, aber die Eingangsbandbreite des Systems muss mindestens 108 MHz betragen. In ähnlicher Weise muss die Genauigkeit des Abtastzeitpunkts oder die Aperturunsicherheit des Samplers, häufig des Analog-Digital-Wandlers, für die abgetasteten Frequenzen 108 MHz und nicht die niedrigere Abtastrate angemessen sein. Wenn das Abtasttheorem so interpretiert wird, dass das Doppelte der höchsten Frequenz erforderlich ist, dann würde man annehmen, dass die erforderliche Abtastrate größer als die Nyquist-Rate 216 MHz ist. Damit ist zwar die letzte Bedingung für die Abtastrate erfüllt, aber die Abtastrate ist stark überhöht. Wird ein Band mit n > 1 abgetastet, so ist für den Anti-Aliasing-Filter ein Bandpassfilter anstelle eines Tiefpassfilters erforderlich.
Wie wir gesehen haben, ist die normale Basisbandbedingung für die reversible Abtastung, dass X(f) = 0 außerhalb des Intervalls: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }right),}
und die rekonstruktive Interpolationsfunktion oder Tiefpassfilter-Impulsantwort ist sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
Um die Unterabtastung zu berücksichtigen, lautet die Bandpassbedingung, dass X(f) = 0 außerhalb der Vereinigung der offenen positiven und negativen Frequenzbänder
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}
für irgendeine positive ganze Zahl n {\displaystyle n\,}
. was die normale Basisbandbedingung für den Fall n = 1 einschließt (mit der Ausnahme, dass dort, wo die Intervalle bei der Frequenz 0 zusammentreffen, sie geschlossen sein können).
Die entsprechende Interpolationsfunktion ist das Bandpassfilter, das durch diese Differenz von Tiefpass-Impulsantworten gegeben ist:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \links({\frac {nt}{T}}\rechts)-(n-1)\Operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}
.
Andererseits ist die Rekonstruktion bei abgetasteten ZF- oder HF-Signalen normalerweise nicht das Ziel. Vielmehr kann die Abtastsequenz als gewöhnliche Abtastwerte des Signals behandelt werden, die auf das nahe Basisband frequenzverschoben sind, und die digitale Demodulation kann auf dieser Grundlage erfolgen, wobei die Spiegelung des Spektrums erkannt wird, wenn n gerade ist.
Weitere Verallgemeinerungen der Unterabtastung für den Fall von Signalen mit mehreren Bändern und Signalen über mehrdimensionale Bereiche (Raum oder Raum-Zeit) sind möglich und wurden von Igor Kluvánek detailliert ausgearbeitet.