Darby nació en Coalbrookdale, Shropshire, hijo de Abraham y Mary (de soltera Sergeant).
Siguió los pasos de su padre en el negocio de fundición Darby en Coalbrookdale, produciendo ollas de hierro fundido, teteras y otros artículos. La empresa Coalbrookdale también desempeñó un papel importante en el uso del hierro para sustituir el latón, más caro, para los cilindros de las máquinas de vapor de Thomas Newcomen.
Él y sus socios fueron responsables de una innovación muy importante al introducir el uso del arrabio de coque como materia prima para las fraguas. Esto constituyó una parte importante de la producción de los hornos Horsehay y Ketley, que construyeron a finales de la década de 1750. El uso exitoso de su padre del arrabio de coque como materia prima para la fundición, y su propio éxito al utilizarlo como materia prima para la forja, fueron dos de los pasos hacia la revolución industrial para la industria del hierro, pero el avance final que permitió la gran expansión de la producción de hierro que constituye la revolución industrial para ella llegó más tarde.
Murió a los 51 años. Se había casado dos veces: en primer lugar con Margaret Smith (fallecida en 1740), con la que tuvo tres hijos, entre ellos Hannah, que se casó con Richard Reynolds, y en segundo lugar con la ministra cuáquera Abiah Maude, con la que tuvo otros trece hijos, aunque sólo sobrevivieron cuatro, entre ellos Abraham Darby III.