Muchas áreas de las matemáticas comenzaron con el estudio de problemas del mundo real, antes de que las reglas y conceptos subyacentes fueran identificados y definidos como estructuras abstractas. Por ejemplo, la geometría tiene sus orígenes en el cálculo de distancias y áreas en el mundo real; el álgebra comenzó con métodos de resolución de problemas en aritmética.
La abstracción es un proceso continuo en las matemáticas y el desarrollo histórico de muchos temas matemáticos exhibe una progresión de lo concreto a lo abstracto. Por ejemplo, los primeros pasos en la abstracción de la geometría fueron realizados históricamente por los antiguos griegos, siendo los Elementos de Euclides la primera documentación existente de los axiomas de la geometría plana, aunque Proclus habla de una axiomatización anterior realizada por Hipócrates de Quíos. En el siglo XVII, Descartes introdujo las coordenadas cartesianas que permitieron el desarrollo de la geometría analítica. Lobachevsky, Bolyai, Riemann y Gauss, que generalizaron los conceptos de la geometría para desarrollar geometrías no euclidianas, dieron nuevos pasos en la abstracción. Más adelante, en el siglo XIX, los matemáticos generalizaron aún más la geometría, desarrollando áreas como la geometría en n dimensiones, la geometría proyectiva, la geometría afín y la geometría finita. Finalmente, el «programa de Erlangen» de Felix Klein identificó el tema subyacente de todas estas geometrías, definiendo cada una de ellas como el estudio de las propiedades invariantes bajo un determinado grupo de simetrías. Este nivel de abstracción reveló conexiones entre la geometría y el álgebra abstracta.
En matemáticas, la abstracción puede ser ventajosa de las siguientes maneras:
- Revela conexiones profundas entre diferentes áreas de las matemáticas.
- Los resultados conocidos en un área pueden sugerir conjeturas en otra área relacionada.
- Las técnicas y métodos de un área pueden aplicarse para demostrar resultados en otras áreas relacionadas.
- Los patrones de un objeto matemático pueden generalizarse a otros objetos similares de la misma clase.
Por otro lado, la abstracción también puede ser desventajosa en el sentido de que los conceptos altamente abstractos pueden ser difíciles de aprender. Puede ser necesario un grado de madurez matemática y experiencia para la asimilación conceptual de las abstracciones. Por ello, uno de los principios subyacentes en el enfoque Montessori de la educación matemática es animar a los niños a pasar de los ejemplos concretos al pensamiento abstracto.
Bertrand Russell, en The Scientific Outlook (1931), escribe que «el lenguaje ordinario es totalmente inadecuado para expresar lo que la física realmente afirma, ya que las palabras de la vida cotidiana no son suficientemente abstractas. Sólo las matemáticas y la lógica matemática pueden decir lo que el físico quiere decir»
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