Ecuaciones cuadráticas

Reformateando la entrada :

Los cambios realizados en su entrada no deberían afectar a la solución:
(1): «x2» se ha sustituido por «x^2».

Solución paso a paso :

Tratando de factorizar dividiendo el término medio

1.1 Factorización x2-2x-40
El primer término es, x2 su coeficiente es 1 .
El término medio es, -2x su coeficiente es -2 .
El último término, «la constante», es -40
Paso-1 : Multiplicar el coeficiente del primer término por la constante 1 – -40 = -40
Paso-2 : Encontrar dos factores de -40 cuya suma sea igual al coeficiente del término medio, que es -2 .

Observación : ¡No se pueden encontrar dos factores así!
Conclusión : El trinomio no se puede factorizar

Ecuación al final del paso 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Paso 2 :

Parábola, Encontrar el Vértice :

2.1 Encontrar el Vértice de y = x2-2x-40
Las parábolas tienen un punto más alto o más bajo llamado Vértice . Nuestra parábola se abre y por lo tanto tiene un punto más bajo (también conocido como mínimo absoluto). Lo sabemos incluso antes de trazar «y» porque el coeficiente del primer término, 1 , es positivo (mayor que cero).
Cada parábola tiene una línea de simetría vertical que pasa por su vértice. Debido a esta simetría, la línea de simetría pasaría, por ejemplo, por el punto medio de las dos intersecciones x (raíces o soluciones) de la parábola. Es decir, si la parábola tiene efectivamente dos soluciones reales.
Las parábolas pueden modelar muchas situaciones de la vida real, como la altura sobre el suelo, de un objeto lanzado hacia arriba, después de algún período de tiempo. El vértice de la parábola puede proporcionarnos información, como la altura máxima que puede alcanzar ese objeto lanzado hacia arriba. Por esta razón queremos ser capaces de encontrar las coordenadas del vértice.
Para cualquier parábola,Ax2+Bx+C,la coordenada x del vértice viene dada por -B/(2A) . En nuestro caso la coordenada x es 1,0000
Colocando en la fórmula de la parábola 1,0000 para x podemos calcular la coordenada y :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
o y = -41,000

Parábola, gráfica del vértice y de los interceptos X :

Ploteo de la raíz para : y = x2-2x-40
Eje de simetría (discontinuo) {x}={ 1,00}
Vértice en {x,y} = { 1,00,-41,00}
x -Interceptos (Raíces) :
Raíz 1 en {x,y} = {-5,40, 0,00}
Raíz 2 en {x,y} = { 7.40, 0.00}

Resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado

2.2 Resolver x2-2x-40 = 0 completando el cuadrado .
Sumar 40 a ambos lados de la ecuación :
x2-2x = 40
Ahora la parte inteligente: Tomamos el coeficiente de x , que es 2 , lo dividimos por dos, dando 1 , y finalmente lo elevamos al cuadrado dando 1
Sumamos 1 a ambos lados de la ecuación :
En el lado derecho tenemos :
40 + 1 o, (40/1)+(1/1)
El común denominador de las dos fracciones es 1 Sumando (40/1)+(1/1) obtenemos 41/1
Así que sumando a ambos lados obtenemos finalmente :
x2-2x+1 = 41
Sumando 1 hemos completado el lado izquierdo en un cuadrado perfecto :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Las cosas que son iguales a la misma cosa también son iguales entre sí. Como
x2-2x+1 = 41 y
x2-2x+1 = (x-1)2
entonces, según la ley de transitividad,
(x-1)2 = 41
Nos referiremos a esta Ecuación como Ec. #2.2.1
El Principio de la Raíz Cuadrada dice que Cuando dos cosas son iguales, sus raíces cuadradas son iguales.
Nota que la raíz cuadrada de
(x-1)2 es
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Ahora, aplicando el Principio de la Raíz Cuadrada a la Ec. #2.2.1 obtenemos:
x-1 = √ 41
Sumamos 1 a ambos lados para obtener:
x = 1 + √ 41
Como una raíz cuadrada tiene dos valores, uno positivo y otro negativo
x2 – 2x – 40 = 0
tiene dos soluciones:
x = 1 + √ 41
o
x = 1 – √ 41

Resolver la ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática

2.3 Resolver x2-2x-40 = 0 mediante la fórmula cuadrática .
De acuerdo con la Fórmula Cuadrática, x , la solución para Ax2+Bx+C = 0 , donde A, B y C son números, a menudo llamados coeficientes, está dada por :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
En nuestro caso, A = 1
B = -2
C = -40
En consecuencia, B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Aplicando la fórmula cuadrática :
2 ± √ 164
x = —–
2
¿Se puede simplificar √ 164?
¡Sí! La factorización primaria de 164 es
2-2-41
Para poder sacar algo de debajo del radical, tiene que haber 2 instancias del mismo (porque estamos sacando un cuadrado es decir, la segunda raíz).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , redondeado a 4 cifras decimales, es 6.4031
Así que ahora estamos viendo:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Dos soluciones reales:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
o:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5,403

Se encontraron dos soluciones :