La probabilidad a priori tiene una importante aplicación en la mecánica estadística. La versión clásica se define como la relación entre el número de sucesos elementales (por ejemplo, el número de veces que se lanza un dado) y el número total de sucesos, y éstos considerados de forma puramente deductiva, es decir, sin experimentar. En el caso del dado, si lo miramos sobre la mesa sin lanzarlo, se razona deductivamente que cada suceso elemental tiene la misma probabilidad – así, la probabilidad de cada resultado de un lanzamiento imaginario del dado (perfecto) o simplemente contando el número de caras es de 1/6. Cada cara del dado aparece con igual probabilidad – siendo la probabilidad una medida definida para cada evento elemental. El resultado es diferente si lanzamos el dado veinte veces y preguntamos cuántas veces (de 20) aparece el número 6 en la cara superior. En este caso entra en juego el tiempo y tenemos un tipo de probabilidad diferente en función del tiempo o del número de veces que se lanza el dado. Por otro lado, la probabilidad a priori es independiente del tiempo: puedes mirar el dado sobre la mesa todo el tiempo que quieras sin tocarlo y deduces que la probabilidad de que el número 6 aparezca en la cara superior es de 1/6.
En mecánica estadística, por ejemplo, la de un gas contenido en un volumen finito V {\displaystyle V}
, tanto las coordenadas espaciales q i {\displaystyle q_{i}}
como las coordenadas de momento p i {{displaystyle p_{i}}
de los elementos individuales del gas (átomos o moléculas) son finitos en el espacio de fase abarcado por estas coordenadas. Por analogía con el caso del dado, la probabilidad a priori es aquí (en el caso de un continuo) proporcional al elemento de volumen del espacio de fase Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
dividido por h {\displaystyle h}
, y es el número de ondas estacionarias (es decir, estados) que hay, donde Δ q {\displaystyle \Delta q}
es el rango de la variable q {\displaystyle q}
y Δ p {\displaystyle \Delta p}
es el rango de la variable p {\displaystyle p}
(aquí para simplificar se considera en una dimensión). En 1 dimensión (longitud L {\displaystyle L}
) este número o peso estadístico o ponderación a priori es L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. En 3 dimensiones habituales (volumen V {\displaystyle V}
) el número correspondiente puede calcularse como V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}.
. Para entender que esta cantidad da un número de estados en la mecánica cuántica (es decir, ondulatoria), recordemos que en la mecánica cuántica cada partícula está asociada a una onda de materia que es la solución de una ecuación de Schrödinger. En el caso de las partículas libres (de energía ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={bf {p}^{2}/2m}
) como las de un gas en una caja de volumen V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
tal onda de materia es explícitamente ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
donde l , m , n {\displaystyle l,m,n}
son números enteros. El número de diferentes ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
valores y, por tanto, estados en la región entre p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={bf {p}^{2},
se encuentra entonces la expresión anterior V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
considerando el área cubierta por estos puntos. Además, teniendo en cuenta la relación de incertidumbre, que en 1 dimensión espacial es Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
estos estados son indistinguibles (es decir, estos estados no llevan etiquetas). Una consecuencia importante es un resultado conocido como teorema de Liouville, es decir, la independencia temporal de este elemento del volumen del espacio de fase y, por tanto, de la probabilidad a priori. Una dependencia temporal de esta cantidad implicaría información conocida sobre la dinámica del sistema y, por tanto, no sería una probabilidad a priori. Así, la región
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={frac {\Delta q\Delta p}{int \Delta q\Delta p}},\\N-int \Delta q\Delta p=const,
cuando se diferencia con respecto al tiempo t {\displaystyle t}
da como resultado cero (con la ayuda de las ecuaciones de Hamilton): El volumen en el tiempo t {\displaystyle t}
es el mismo que en el tiempo cero. Uno describe esto también como conservación de la información.
En la teoría cuántica completa se tiene una ley de conservación análoga. En este caso, la región del espacio de fase se sustituye por un subespacio del espacio de estados expresado en términos de un operador de proyección P
, y en lugar de la probabilidad en el espacio de fase, se tiene la densidad de probabilidad Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={frac {P}{TrP}},\;\;\;N=TrP=const.,}
donde N {\displaystyle N}
es la dimensionalidad del subespacio. La ley de conservación en este caso se expresa por la unitariedad de la matriz S. En cualquier caso, las consideraciones suponen un sistema aislado cerrado. Este sistema aislado cerrado es un sistema con (1) una energía fija E {\displaystyle E}
y (2) un número fijo de partículas N {\displaystyle N}
en (c) un estado de equilibrio. Si se considera un gran número de réplicas de este sistema, se obtiene lo que se llama un «conjunto microcanónico». Para este sistema se postula en estadística cuántica el «postulado fundamental de la igualdad de probabilidades a priori de un sistema aislado». Esto dice que el sistema aislado en equilibrio ocupa cada uno de sus estados accesibles con la misma probabilidad. Este postulado fundamental nos permite, por tanto, equiparar la probabilidad a priori a la degeneración de un sistema, es decir, al número de estados diferentes con la misma energía.