Submuestreo

Las transformadas de Fourier de las funciones de valor real son simétricas alrededor del eje de 0 Hz. Tras el muestreo, sólo queda disponible una suma periódica de la transformada de Fourier (llamada transformada de Fourier en tiempo discreto). Las copias individuales desplazadas en frecuencia de la transformada original se denominan alias. El desplazamiento de frecuencia entre alias adyacentes es la tasa de muestreo, denotada por fs. Cuando los alias son mutuamente excluyentes (espectralmente), la transformada original y la función continua original, o una versión desplazada en frecuencia de la misma (si se desea), pueden recuperarse a partir de las muestras. Los gráficos primero y tercero de la Figura 1 muestran un espectro de banda base antes y después de ser muestreado a una velocidad que separa completamente los alias.

El segundo gráfico de la Figura 1 muestra el perfil de frecuencia de una función de paso de banda que ocupa la banda (A, A+B) (sombreada en azul) y su imagen especular (sombreada en beige). La condición para una frecuencia de muestreo no destructiva es que los alias de ambas bandas no se solapen cuando se desplazan por todos los múltiplos enteros de fs. El cuarto gráfico muestra el resultado espectral del muestreo a la misma velocidad que la función de banda base. La tasa se eligió encontrando la tasa más baja que es un submúltiplo entero de A y también satisface el criterio de Nyquist de la banda base: fs > 2B. En consecuencia, la función de paso de banda se ha convertido efectivamente en banda base. Todos los demás índices que evitan el solapamiento vienen dados por estos criterios más generales, en los que A y A+B se sustituyen por fL y fH, respectivamente:

2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}{n}leq f_{s}leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}

, para cualquier número entero n que satisfaga: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}{f_{H}-f_{L}}right\rfloor }

Las señales importantes de este tipo incluyen la señal de frecuencia intermedia (FI) de una radio, la señal de radiofrecuencia (RF) y los canales individuales de un banco de filtros.

Si n > 1, las condiciones dan lugar a lo que a veces se denomina submuestreo, muestreo de paso de banda o uso de una velocidad de muestreo inferior a la velocidad de Nyquist (2fH). Para el caso de una frecuencia de muestreo determinada, a continuación se ofrecen fórmulas más sencillas para las restricciones de la banda espectral de la señal.

Espectro de la banda de radio FM (88-108 MHz) y su alias de banda base bajo un muestreo de 44 MHz (n = 5). Se requiere un filtro antialias bastante ajustado a la banda de radio FM, y no hay espacio para las emisoras en los canales de expansión cercanos, como el 87.9, sin que se produzca aliasing.

Espectro de la banda de radio FM (88-108 MHz) y su alias de banda base bajo un muestreo de 56 MHz (n = 4), mostrando mucho espacio para las bandas de transición del filtro antialiasing. La imagen de la banda base está invertida en frecuencia en este caso (incluso n).

Ejemplo: Consideremos la radio FM para ilustrar la idea del submuestreo. En Estados Unidos, la radio FM opera en la banda de frecuencias de fL = 88 MHz a fH = 108 MHz. El ancho de banda viene dado por W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\mathrm {MHz} -88\\Nmathrm {MHz} =20\Nmathrm {MHz} }

Las condiciones de muestreo se satisfacen para 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \más de 20 metros por hora. {\i1}Suelo derecho} {\i} {\i}que es lo que se llama un piso de la derecha} {\i} \Por lo tanto, n puede ser 1, 2, 3, 4 o 5. El valor n = 5 da el menor intervalo de frecuencias de muestreo 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43,2\ \mathrm {MHz} <f_{mathrm {s} }<44\mathrm {MHz} }

y este es un escenario de submuestreo. En este caso, el espectro de la señal se ajusta entre 2 y 2,5 veces la frecuencia de muestreo (mayor que 86,4-88 MHz pero menor que 108-110 MHz). Un valor más bajo de n también conducirá a una frecuencia de muestreo útil. Por ejemplo, utilizando n = 4, el espectro de la banda FM se ajusta fácilmente entre 1,5 y 2,0 veces la frecuencia de muestreo, para una frecuencia de muestreo cercana a los 56 MHz (los múltiplos de la frecuencia de Nyquist son 28, 56, 84, 112, etc.). Vea las ilustraciones de la derecha. Cuando se submuestrea una señal del mundo real, el circuito de muestreo debe ser lo suficientemente rápido para capturar la frecuencia más alta de la señal de interés. Teóricamente, cada muestra debería tomarse durante un intervalo infinitesimalmente corto, pero esto no es factible en la práctica. En cambio, el muestreo de la señal debe hacerse en un intervalo lo suficientemente corto como para poder representar el valor instantáneo de la señal con la frecuencia más alta. Esto significa que en el ejemplo de la radio FM anterior, el circuito de muestreo debe ser capaz de capturar una señal con una frecuencia de 108 MHz, no de 43,2 MHz. Así, la frecuencia de muestreo puede ser sólo un poco mayor que 43,2 MHz, pero el ancho de banda de entrada del sistema debe ser de al menos 108 MHz. Del mismo modo, la precisión de la temporización de muestreo, o la incertidumbre de apertura del muestreador, con frecuencia el convertidor analógico-digital, debe ser apropiada para las frecuencias que se muestrean 108MHz, no la frecuencia de muestreo inferior. Si el teorema del muestreo se interpreta como que se requiere el doble de la frecuencia más alta, entonces se supondría que la tasa de muestreo requerida es mayor que la tasa de Nyquist 216 MHz. Si bien esto satisface la última condición de la tasa de muestreo, se trata de un muestreo excesivo. Tenga en cuenta que si una banda se muestrea con n > 1, entonces se requiere un filtro de paso de banda para el filtro anti-aliasing, en lugar de un filtro de paso bajo.

Como hemos visto, la condición normal de banda base para el muestreo reversible es que X(f) = 0 fuera del intervalo ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{{frac {1}{2}}f_{mathrm {s} },{{frac {1}{2}}f_{mathrm {s} }\right),}

y la función de interpolación reconstructiva, o respuesta al impulso del filtro de paso bajo, es sinc ( t / T ) . {\a6}*Displaystyle \a6}*Scriptstyle \a6}*Nombre del operador |left(t/T\right).}

Para acomodar el submuestreo, la condición de paso de banda es que X(f) = 0 fuera de la unión de las bandas de frecuencia positivas y negativas abiertas

( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{frac {n}{2}f_{mathrm {s} },-{frac {n-1}{2}f_{mathrm {s} }right)\cup \left({\frac {n-1}{2}f_{mathrm {s} },{{frac {n}{2}f_{mathrm {s} }right)}

para algún entero positivo n {\displaystyle n,}

. que incluye la condición de banda base normal como el caso n = 1 (excepto que donde los intervalos se juntan en la frecuencia 0, pueden ser cerrados).

La función de interpolación correspondiente es el filtro paso banda dado por esta diferencia de respuestas impulsionales paso bajo:

n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \(n – 1) Operador {sinc}

.

Por otro lado, la reconstrucción no suele ser el objetivo con las señales de FI o RF muestreadas. Más bien, la secuencia de muestras puede tratarse como muestras ordinarias de la señal desplazada en frecuencia hasta cerca de la banda base, y la demodulación digital puede proceder sobre esa base, reconociendo el reflejo del espectro cuando n es par.

Son posibles otras generalizaciones del submuestreo para el caso de señales con múltiples bandas, y señales sobre dominios multidimensionales (espacio o espacio-tiempo) y han sido trabajadas en detalle por Igor Kluvánek.