Équations quadratiques

Reformatage de l’entrée :

Les modifications apportées à votre entrée ne devraient pas affecter la solution :
(1) : « x2 » a été remplacé par « x^2 ».

Solution pas à pas :

Essayer de factoriser en divisant le terme du milieu

1.1 Factorisation de x2-2x-40
Le premier terme est, x2 son coefficient est 1 .
Le terme du milieu est, -2x son coefficient est -2 .
Le dernier terme, « la constante », est -40
Etape-1 : Multiplier le coefficient du premier terme par la constante 1 – -40 = -40
Etape-2 : Trouver deux facteurs de -40 dont la somme est égale au coefficient du terme du milieu, qui est -2 .

Observation : On ne trouve pas deux tels facteurs ! !!
Conclusion : Le trinôme ne peut pas être factorisé

Equation à la fin de l’étape 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Etape 2 :

Parabole, trouver le sommet :

2.1 Trouver le sommet de y = x2-2x-40
Les paraboles ont un point le plus haut ou le plus bas appelé le sommet . Notre parabole s’ouvre et a donc un point le plus bas (aussi appelé minimum absolu). Nous le savons avant même de tracer « y » car le coefficient du premier terme, 1 , est positif (supérieur à zéro).
Chaque parabole a une ligne de symétrie verticale qui passe par son sommet. En raison de cette symétrie, la ligne de symétrie passerait, par exemple, par le point médian des deux ordonnées en x (racines ou solutions) de la parabole. C’est-à-dire, si la parabole a effectivement deux solutions réelles.
Les paraboles peuvent modéliser de nombreuses situations de la vie réelle, comme la hauteur au-dessus du sol, d’un objet projeté vers le haut, après un certain temps. Le sommet de la parabole peut nous fournir des informations, comme la hauteur maximale que cet objet, lancé vers le haut, peut atteindre. Pour cette raison, nous voulons être en mesure de trouver les coordonnées du sommet.
Pour toute parabole,Ax2+Bx+C,la coordonnée x du sommet est donnée par -B/(2A) . Dans notre cas, la coordonnée x est 1,0000
En branchant dans la formule de la parabole 1,0000 pour x, nous pouvons calculer la -coordonnée y :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
ou y = -41,000

Parabole, graphique Vertex et X-Intercepts :

Tracé de base pour : y = x2-2x-40
Axe de symétrie (en pointillés) {x}={ 1,00}.
Vertex à {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Intercepts (racines) :
Root 1 à {x,y} = {-5.40, 0.00}
Root 2 à {x,y} = {7.40, 0.00}

Résoudre une équation quadratique en complétant le carré

2.2 Résoudre x2-2x-40 = 0 en complétant le carré .
Ajouter 40 aux deux côtés de l’équation :
x2-2x = 40
Maintenant la partie intelligente : Prendre le coefficient de x , qui est 2 , diviser par deux, ce qui donne 1 , et enfin le mettre au carré ce qui donne 1
Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation :
Sur le côté droit on a :
40 + 1 ou, (40/1)+(1/1)
Le dénominateur commun des deux fractions est 1 En ajoutant (40/1)+(1/1) on obtient 41/1
Donc en ajoutant aux deux côtés on obtient finalement :
x2-2x+1 = 41
L’ajout de 1 a complété le côté gauche en un carré parfait :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Les choses qui sont égales à la même chose sont aussi égales entre elles. Puisque
x2-2x+1 = 41 et
x2-2x+1 = (x-1)2
alors, selon la loi de transitivité,
(x-1)2 = 41
Nous appellerons cette équation Eq. #2.2.1
Le principe de la racine carrée dit que lorsque deux choses sont égales, leurs racines carrées sont égales.
Notez que la racine carrée de
(x-1)2 est
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Maintenant, en appliquant le principe de la racine carrée à l’Eq. #2.2.1 on obtient :
x-1 = √ 41
Ajoutez 1 aux deux côtés pour obtenir :
x = 1 + √ 41
Puisqu’une racine carrée a deux valeurs, l’une positive et l’autre négative
x2 – 2x – 40 = 0
a deux solutions :
x = 1 + √ 41
ou
x = 1 – √ 41

Résoudre une équation quadratique en utilisant la formule quadratique

2.3 Résolution de x2-2x-40 = 0 par la formule quadratique .
Selon la formule quadratique, x , la solution de Ax2+Bx+C = 0 , où A, B et C sont des nombres, souvent appelés coefficients, est donnée par :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
Dans notre cas, A = 1
B = -2
C = -40
Accordement, B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Application de la formule quadratique :
2 ± √ 164
x = —–
2
Peut-on simplifier √ 164 ?
Oui ! La factorisation première de 164 est
2-2-41
Pour pouvoir enlever quelque chose sous le radical, il faut qu’il y en ait 2 occurrences (car on prend un carré c’est-à-dire la racine seconde).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , arrondi à 4 chiffres décimaux, vaut 6.4031
Alors, nous avons maintenant :
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Deux solutions réelles :
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
ou:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Deux solutions ont été trouvées :