Darby est né à Coalbrookdale, dans le Shropshire, d’Abraham et de Mary (née Sergeant).
Il a suivi les traces de son père dans l’entreprise de fonderie Darby à Coalbrookdale, produisant des marmites, des bouilloires et d’autres articles en fonte. La société Coalbrookdale a également joué un rôle important dans l’utilisation du fer pour remplacer le laiton, plus coûteux, pour les cylindres des moteurs à vapeur de Thomas Newcomen.
Lui et ses partenaires ont été responsables d’une innovation très importante en introduisant l’utilisation du fer de cochon de coke comme matière première pour les forges de parure. Cela constituait une part importante de la production des fours Horsehay et Ketley, qu’ils ont construits à la fin des années 1750. L’utilisation réussie par son père de la fonte de cochon de coke comme matière première de fonderie, et son propre succès à l’utiliser comme matière première de forge étaient deux des étapes vers la révolution industrielle pour l’industrie du fer, mais la percée finale qui a permis la grande expansion de la production de fer qui constitue la révolution industrielle pour elle est venue plus tard.
Il est mort à l’âge de 51 ans. Il s’était marié deux fois : d’abord avec Margaret Smith (décédée en 1740), avec qui il eut trois enfants dont Hannah qui épousa Richard Reynolds, et ensuite avec la ministre quaker Abiah Maude, avec qui il eut treize autres enfants bien que seuls quatre, dont Abraham Darby III, survécurent.