De nombreux domaines des mathématiques ont commencé par l’étude de problèmes du monde réel, avant que les règles et les concepts sous-jacents ne soient identifiés et définis comme des structures abstraites. Par exemple, la géométrie a ses origines dans le calcul des distances et des surfaces dans le monde réel ; l’algèbre a commencé avec des méthodes de résolution de problèmes en arithmétique.
L’abstraction est un processus continu en mathématiques et le développement historique de nombreux sujets mathématiques présente une progression du concret vers l’abstrait. Par exemple, les premiers pas dans l’abstraction de la géométrie ont été faits historiquement par les Grecs anciens, les Éléments d’Euclide étant la plus ancienne documentation existante des axiomes de la géométrie plane – bien que Proclus raconte une axiomatisation antérieure par Hippocrate de Chios. Au XVIIe siècle, Descartes a introduit les coordonnées cartésiennes qui ont permis le développement de la géométrie analytique. D’autres étapes d’abstraction ont été franchies par Lobachevsky, Bolyai, Riemann et Gauss, qui ont généralisé les concepts de la géométrie pour développer des géométries non euclidiennes. Plus tard au cours du 19e siècle, les mathématiciens ont généralisé la géométrie encore davantage, développant des domaines tels que la géométrie en n dimensions, la géométrie projective, la géométrie affine et la géométrie finie. Enfin, le « programme d’Erlangen » de Felix Klein a identifié le thème sous-jacent de toutes ces géométries, en définissant chacune d’entre elles comme l’étude des propriétés invariantes sous un groupe donné de symétries. Ce niveau d’abstraction a révélé des connexions entre la géométrie et l’algèbre abstraite.
En mathématiques, l’abstraction peut être avantageuse des manières suivantes :
- Elle révèle des connexions profondes entre différents domaines des mathématiques.
- Des résultats connus dans un domaine peuvent suggérer des conjectures dans un autre domaine connexe.
- Les techniques et les méthodes d’un domaine peuvent être appliquées pour prouver des résultats dans d’autres domaines connexes.
- Les modèles d’un objet mathématique peuvent être généralisés à d’autres objets similaires de la même classe.
D’autre part, l’abstraction peut également être désavantageuse dans la mesure où les concepts très abstraits peuvent être difficiles à apprendre. Un certain degré de maturité mathématique et d’expérience peut être nécessaire pour l’assimilation conceptuelle des abstractions. À ce titre, l’un des principes sous-jacents de l’approche Montessori de l’enseignement des mathématiques consiste à encourager les enfants à passer des exemples concrets à la pensée abstraite.
Bertrand Russell, dans The Scientific Outlook (1931), écrit que « le langage ordinaire est totalement inadapté pour exprimer ce que la physique affirme réellement, car les mots de la vie quotidienne ne sont pas suffisamment abstraits. Seules les mathématiques et la logique mathématique peuvent dire aussi peu que ce que le physicien veut dire. »