une quantité qui caractérise la distribution de la masse d’un corps et qui est, avec la masse, une mesure de l’inertie du corps pendant le mouvement non translationnel. En mécanique, on distingue (1) les moments d’inertie axiaux et (2) les produits d’inertie. La quantité définie par l’équation
est appelée le moment d’inertie axial du corps par rapport à l’axe z ; dans cette équation, les w, sont les masses des points du corps, les mi sont les distances des points par rapport à l’axe z, ρ est la densité de masse, et V est le volume du corps. La quantité Iz est une mesure de l’inertie du corps lorsque celui-ci tourne autour de l’axe. Le moment d’inertie axial peut également être exprimé en fonction de la quantité linéaire k – le rayon de giration – selon la formule Iz = Mk2, où M est la masse du corps. Les dimensions du moment d’inertie sont L2M, et les unités de mesure sont kg ⋅ m2ou g ⋅ cm2.
Les quantités définies par les équations
(2) Ixy = Σ mixiyi, Iyz = Σ miyizi, Izx
ou par les intégrales volumiques correspondantes sont appelées produits d’inertie par rapport à un système d’axes rectangulaires x, y, z au point O. Ces quantités sont caractéristiques du déséquilibre dynamique des masses. Par exemple, lorsqu’un corps tourne autour de l’axe z, les forces de pression sur les paliers qui supportent l’axe dépendent des valeurs de Ixz et Iyz.
Les moments d’inertie par rapport aux axes parallèles z et z′ sont reliés par l’équation
(3) Iz = Iz′ + Md2
où z′ est un axe qui passe par le centre de masse du corps et d est la distance entre les axes (théorème de Huygens).
Le moment d’inertie par rapport à tout axe Ol de direction cosinus a, α β , et γ et passant par l’origine O se trouve selon la formule
(4) Iol = Ixα2 + Iyβ2 + Izγ2 – 2Ixy α β – 2Ixy β γ – 2Izx γ α
Connaissant les six quantités Ix, Iy, Iz, Ixy, Iyz et Izx, on peut successivement calculer, à l’aide des formules (4) et (3), l’ensemble des moments et produits d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque. Ces six quantités définissent le tenseur d’inertie du corps. Par chaque point du corps, on peut tracer trois axes mutuellement perpendiculaires appelés les axes principaux d’inertie pour lesquels Ixy = Iyz = Izx = 0. Alors, le moment d’inertie du corps par rapport à n’importe quel axe peut être déterminé si les axes principaux d’inertie et les moments d’inertie par rapport aux axes principaux sont connus.
Les moments d’inertie des corps de forme complexe sont généralement déterminés expérimentalement. Le concept de moment d’inertie est largement utilisé dans la résolution de nombreux problèmes de mécanique et d’ingénierie.