La probabilité a priori a une application importante en mécanique statistique. La version classique est définie comme le rapport entre le nombre d’événements élémentaires (par exemple le nombre de fois qu’un dé est lancé) et le nombre total d’événements – et ceux-ci considérés de manière purement déductive, c’est-à-dire sans aucune expérimentation. Dans le cas du dé, si nous le regardons sur la table sans le lancer, chaque événement élémentaire est considéré déductivement comme ayant la même probabilité – ainsi, la probabilité de chaque résultat d’un lancer imaginaire du dé (parfait) ou simplement en comptant le nombre de faces est de 1/6. Chaque face du dé apparaît avec la même probabilité – la probabilité étant une mesure définie pour chaque événement élémentaire. Le résultat est différent si nous lançons le dé vingt fois et demandons combien de fois (sur 20) le chiffre 6 apparaît sur la face supérieure. Dans ce cas, le temps entre en jeu et nous avons un type de probabilité différent selon le temps ou le nombre de fois que le dé est lancé. En revanche, la probabilité a priori est indépendante du temps – on peut regarder le dé sur la table aussi longtemps qu’on veut sans le toucher et on en déduit que la probabilité que le chiffre 6 apparaisse sur la face supérieure est de 1/6.
En mécanique statistique, par exemple celle d’un gaz contenu dans un volume fini V {\displaystyle V}.
, les deux coordonnées spatiales q i {\displaystyle q_{i}}
et les coordonnées de quantité de mouvement p i {\displaystyle p_{i}}
des éléments individuels du gaz (atomes ou molécules) sont finies dans l’espace de phase couvert par ces coordonnées. Par analogie avec le cas du dé, la probabilité a priori est ici (dans le cas d’un continuum) proportionnelle à l’élément de volume de l’espace de phase Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}.
divisé par h {\displaystyle h}
, et est le nombre d’ondes stationnaires (c’est-à-dire d’états) qu’il contient, où Δ q {\displaystyle \Delta q}
est la plage de la variable q {\displaystyle q}.
et Δ p {\displaystyle \Delta p}
est l’étendue de la variable p {\displaystyle p}.
(ici pour simplifier considérée en une dimension). En 1 dimension (longueur L {\displaystyle L}
) ce nombre ou poids statistique ou pondération a priori est L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. En 3 dimensions usuelles (volume V {\displaystyle V}
), le nombre correspondant peut être calculé comme étant V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}.
. Pour comprendre que cette quantité donne un nombre d’états en mécanique quantique (c’est-à-dire ondulatoire), rappelons qu’en mécanique quantique, chaque particule est associée à une onde de matière qui est la solution d’une équation de Schrödinger. Dans le cas de particules libres (d’énergie ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}
) comme celles d’un gaz dans une boîte de volume V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
une telle onde de matière est explicitement ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
where l , m , n {\displaystyle l,m,n}
sont des entiers. Le nombre de différents ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
valeurs et donc états dans la région entre p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
se trouve alors être l’expression ci-dessus V 4 π p 2 d p / h 3{displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
en considérant la surface couverte par ces points. De plus, compte tenu de la relation d’incertitude, qui en 1 dimension spatiale est Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}.
,
ces états sont indiscernables (c’est-à-dire que ces états ne portent pas d’étiquettes). Une conséquence importante est un résultat connu sous le nom de théorème de Liouville, c’est-à-dire l’indépendance temporelle de cet élément de volume de l’espace des phases et donc de la probabilité a priori. Une dépendance temporelle de cette quantité impliquerait une information connue sur la dynamique du système, et donc ne serait pas une probabilité a priori. Ainsi la région
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
quand il est différencié par rapport au temps t {\displaystyle t}
donne zéro (avec l’aide des équations de Hamilton) : Le volume au temps t {\displaystyle t}
est le même qu’au temps zéro. On décrit cela aussi comme la conservation de l’information.
Dans la théorie quantique complète, on a une loi de conservation analogue. Dans ce cas, la région de l’espace des phases est remplacée par un sous-espace de l’espace des états exprimé en termes d’un opérateur de projection P {\displaystyle P}.
, et au lieu de la probabilité dans l’espace des phases, on a la densité de probabilité Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}},\;\;\;N=TrP=const.,}
où N {\displaystyle N}
est la dimensionnalité du sous-espace. La loi de conservation dans ce cas est exprimée par l’unitarité de la matrice S. Dans les deux cas, les considérations supposent un système fermé et isolé. Ce système fermé isolé est un système avec (1) une énergie fixe E {\displaystyle E}
et (2) un nombre fixe de particules N {\displaystyle N}
dans (c) un état d’équilibre. Si l’on considère un très grand nombre de répliques de ce système, on obtient ce que l’on appelle un « ensemble microcanonique ». C’est pour ce système que l’on postule en statistique quantique le « postulat fondamental de l’égalité des probabilités a priori d’un système isolé ». Ce postulat dit que le système isolé en équilibre occupe chacun de ses états accessibles avec la même probabilité. Ce postulat fondamental permet donc d’assimiler la probabilité a priori à la dégénérescence d’un système, c’est-à-dire au nombre d’états différents ayant la même énergie.