Les transformées de Fourier des fonctions à valeurs réelles sont symétriques autour de l’axe 0 Hz. Après échantillonnage, seule une sommation périodique de la transformée de Fourier (appelée transformée de Fourier en temps discret) est encore disponible. Les copies individuelles décalées en fréquence de la transformée originale sont appelées alias. Le décalage de fréquence entre des alias adjacents est la fréquence d’échantillonnage, désignée par fs. Lorsque les alias s’excluent mutuellement (spectralement), la transformée originale et la fonction continue originale, ou une version décalée en fréquence de celle-ci (si on le souhaite), peuvent être récupérées à partir des échantillons. Les premier et troisième graphiques de la figure 1 représentent un spectre en bande de base avant et après avoir été échantillonné à un taux qui sépare complètement les alias.
Le deuxième graphique de la figure 1 représente le profil de fréquence d’une fonction passe-bande occupant la bande (A, A+B) (ombrée en bleu) et son image miroir (ombrée en beige). La condition d’une fréquence d’échantillonnage non destructive est que les alias des deux bandes ne se chevauchent pas lorsqu’elles sont décalées de tous les multiples entiers de fs. Le quatrième graphique représente le résultat spectral de l’échantillonnage au même taux que la fonction de bande de base. Le taux a été choisi en trouvant le taux le plus bas qui est un sous-multiple entier de A et qui satisfait également le critère de Nyquist de la bande de base : fs > 2B. Par conséquent, la fonction passe-bande a effectivement été convertie en bande de base. Tous les autres taux qui évitent le chevauchement sont donnés par ces critères plus généraux, où A et A+B sont remplacés par fL et fH, respectivement :
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}.
, pour tout entier n satisfaisant : 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}\right\rfloor }
Le plus grand n pour lequel la condition est satisfaite conduit aux taux d’échantillonnage les plus bas possibles.
Les signaux importants de ce type comprennent la fréquence intermédiaire (FI) d’une radio, le signal radiofréquence (RF) et les différents canaux d’un banc de filtres.
Si n > 1, alors les conditions aboutissent à ce qui est parfois appelé sous-échantillonnage, échantillonnage passe-bande ou utilisation d’un taux d’échantillonnage inférieur au taux de Nyquist (2fH). Pour le cas d’une fréquence d’échantillonnage donnée, des formules plus simples pour les contraintes sur la bande spectrale du signal sont données ci-dessous.
Exemple : Considérons la radio FM pour illustrer l’idée de sous-échantillonnage. Aux États-Unis, la radio FM fonctionne sur la bande de fréquences allant de fL = 88 MHz à fH = 108 MHz. La bande passante est donnée par W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\\\N- MHZ} =20\N- MHZ} }
Les conditions d’échantillonnage sont satisfaites pour 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\\\mathrm {MHz} \Supérieur 20\\\N\N\N\N\N\N\N\N\N\N\N\N\N\N de l’étage du haut }\right\rfloor }
Par conséquent, n peut être 1, 2, 3, 4, ou 5. La valeur n = 5 donne l’intervalle de fréquences d’échantillonnage le plus bas 43,2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\\\mathrm {MHz}}. <f_{\mathrm {s} }<44\\ \mathrm {MHz} }
et ceci est un scénario de sous-échantillonnage. Dans ce cas, le spectre du signal s’adapte entre 2 et 2,5 fois la fréquence d’échantillonnage (supérieure à 86,4-88 MHz mais inférieure à 108-110 MHz). Une valeur plus faible de n conduira également à un taux d’échantillonnage utile. Par exemple, avec n = 4, le spectre de la bande FM s’adapte facilement entre 1,5 et 2,0 fois la fréquence d’échantillonnage, pour une fréquence d’échantillonnage proche de 56 MHz (les multiples de la fréquence de Nyquist étant 28, 56, 84, 112, etc.) Voir les illustrations à droite. Lors du sous-échantillonnage d’un signal du monde réel, le circuit d’échantillonnage doit être suffisamment rapide pour capturer la fréquence la plus élevée du signal. En théorie, chaque échantillon devrait être pris pendant un intervalle infiniment court, mais cela n’est pas réalisable en pratique. Au lieu de cela, l’échantillonnage du signal doit être effectué dans un intervalle suffisamment court pour pouvoir représenter la valeur instantanée du signal ayant la fréquence la plus élevée. Cela signifie que dans l’exemple de la radio FM ci-dessus, le circuit d’échantillonnage doit être capable de capter un signal dont la fréquence est de 108 MHz, et non de 43,2 MHz. Ainsi, la fréquence d’échantillonnage peut être à peine supérieure à 43,2 MHz, mais la largeur de bande d’entrée du système doit être d’au moins 108 MHz. De même, la précision de la synchronisation de l’échantillonnage, ou l’incertitude de l’ouverture de l’échantillonneur, fréquemment le convertisseur analogique-numérique, doit être adaptée aux fréquences échantillonnées 108MHz, et non à la fréquence d’échantillonnage inférieure. Si le théorème d’échantillonnage est interprété comme exigeant le double de la fréquence la plus élevée, alors la fréquence d’échantillonnage requise serait supposée être supérieure à la fréquence de Nyquist 216 MHz. Bien que cette valeur satisfasse la dernière condition relative à la fréquence d’échantillonnage, elle est largement suréchantillonnée. Notez que si une bande est échantillonnée avec n > 1, alors un filtre passe-bande est nécessaire pour le filtre anti-aliasing, au lieu d’un filtre passe-bas.
Comme nous l’avons vu, la condition normale en bande de base pour un échantillonnage réversible est que X(f) = 0 en dehors de l’intervalle : ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }right),}
Pour tenir compte du sous-échantillonnage, la condition de bande passante est que X(f) = 0 en dehors de l’union des bandes de fréquence positive et négative ouvertes
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }right)}\cup \left({\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }right)}
pour un entier positif n {\displaystyle n\,}
. ce qui inclut la condition de bande de base normale comme le cas n = 1 (sauf que lorsque les intervalles se rejoignent à la fréquence 0, ils peuvent être fermés).
La fonction d’interpolation correspondante est le filtre passe-bande donné par cette différence de réponses impulsionnelles passe-bas:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}\right)}
.
En revanche, la reconstruction n’est généralement pas le but recherché avec les signaux IF ou RF échantillonnés. Au contraire, la séquence d’échantillons peut être traitée comme des échantillons ordinaires du signal décalé en fréquence jusqu’à une bande de base proche, et la démodulation numérique peut se faire sur cette base, en reconnaissant le miroir du spectre lorsque n est pair.
D’autres généralisations du sous-échantillonnage pour le cas des signaux à bandes multiples sont possibles, ainsi que des signaux sur des domaines multidimensionnels (espace ou espace-temps) et ont été travaillées en détail par Igor Kluvánek.
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