A priori valószínűségnek fontos alkalmazása van a statisztikai mechanikában. A klasszikus változatot az elemi események számának (pl. hányszor dobunk fel egy kockát) és az összes eseményszámnak az arányaként határozzák meg – és ezeket tisztán deduktívan, azaz kísérletezés nélkül vizsgálják. A kocka esetében, ha dobás nélkül nézzük az asztalon, minden egyes elemi eseményt deduktív módon úgy érvelünk, hogy ugyanolyan valószínűségű – így a (tökéletes) kocka képzeletbeli dobásának vagy egyszerűen az oldalak számolásának minden egyes kimenetelének valószínűsége 1/6. A kocka minden egyes arca azonos valószínűséggel jelenik meg – a valószínűség az egyes elemi eseményekre meghatározott mérték. Más az eredmény, ha hússzor dobjuk a kockát, és megkérdezzük, hányszor (a 20-ból) jelenik meg a 6-os szám a felső oldalon. Ebben az esetben az idő lép a képbe, és az időtől, illetve a kockadobás számától függően másfajta valószínűséggel rendelkezünk. Másrészt az a priori valószínűség független az időtől – nézhetjük a kockát az asztalon, amíg csak akarjuk, anélkül, hogy hozzáérnénk, és arra következtethetünk, hogy a 6-os szám megjelenésének valószínűsége a felső oldalon 1/6-os.
A statisztikai mechanikában például egy véges V {\displaystyle V} térfogatban lévő gáz {\displaystyle V}
, mind a térbeli koordináták q i {\displaystyle q_{i}}
és az impulzuskoordináták p i {\displaystyle p_{i}}
az egyes gázelemek (atomok vagy molekulák) végesek az e koordináták által átfogott fázistérben. A kocka esetének analógiájára az a priori valószínűség itt (kontinuum esetén) arányos a fázistér Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
osztva h {\displaystyle h}
, és a benne lévő állóhullámok (azaz állapotok) száma, ahol Δ q {\displaystyle \Delta q}
a q {\displaystyle q} változó tartománya.
és Δ p {\displaystyle \Delta p}
a p {\displaystyle p} változó tartománya.
(itt az egyszerűség kedvéért egy dimenzióban vizsgálva). 1 dimenzióban (hossza L {\displaystyle L}
) ez a szám vagy statisztikai súly vagy a priori súlyozás L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. Szokásos 3 dimenzióban (térfogat V {\displaystyle V}
) a megfelelő szám kiszámítható V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}}
. Ahhoz, hogy ezt a mennyiséget úgy értsük, mint ami a kvantummechanikában (azaz a hullámmechanikában) az állapotok számát adja, emlékezzünk arra, hogy a kvantummechanikában minden részecskéhez egy anyaghullám tartozik, amely egy Schrödinger-egyenlet megoldása. A szabad részecskék esetében (ϵ = p 2 / 2 m energiájú {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}
), mint például egy gázé egy V = L 3 térfogatú dobozban {\displaystyle V=L^{3}}}
egy ilyen anyaghullám kifejezetten ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
hol l , m , n {\displaystyle l,m,n}
egész számok. A különböző ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)}
értékek és így a p , p + d p , p 2 = p 2 közötti tartományban lévő állapotok száma {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
ezután a fenti V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}} kifejezésnek találjuk
az e pontok által lefedett területet figyelembe véve. Továbbá, tekintettel a bizonytalansági relációra, amely 1 térbeli dimenzióban Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
ezek az állapotok megkülönböztethetetlenek (azaz ezek az állapotok nem hordoznak címkéket). Ennek fontos következménye a Liouville-tétel néven ismert eredmény, azaz e fázistér térfogati elemének és így az a priori valószínűségnek az időbeli függetlensége. E mennyiség időfüggése ismert információt jelentene a rendszer dinamikájáról, és így nem lenne a priori valószínűség. Így a régió
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\;\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
mikor a t idő tekintetében differenciáljuk {\displaystyle t}
nullát ad (a Hamilton-egyenletek segítségével): A térfogat a t időpontban {\displaystyle t}
ugyanaz, mint a nulla időpontban. Ezt úgy is leírhatjuk, mint az információ megőrzését.
A teljes kvantumelméletben egy analóg megőrzési törvénnyel rendelkezünk. Ebben az esetben a fázistér régióját az állapottér egy P {\displaystyle P} vetítési operátorral kifejezett altérrel helyettesítjük.
, és a fázistérbeli valószínűség helyett a Σ := P T r P valószínűségi sűrűséget kapjuk, N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}}},\;\;\;\;N=TrP=const.,}
ahol N {\displaystyle N}
az altér dimenzionalitása. A megőrzési törvényt ebben az esetben az S-mátrix egységessége fejezi ki. A megfontolások mindkét esetben zárt, izolált rendszert feltételeznek. Ez a zárt izolált rendszer olyan rendszer, amelynek (1) rögzített energiája E {\displaystyle E}
és (2) rögzített N {\displaystyle N} részecskeszámmal.
c) egyensúlyi állapotban. Ha ennek a rendszernek nagyszámú másolatát tekintjük, akkor egy úgynevezett “mikrokanonikus együttes´´-t kapunk. Erre a rendszerre vonatkozik a kvantumstatisztikában az “az elszigetelt rendszer egyenlő a priori valószínűségeinek alapvető posztulátuma“. Ez azt mondja ki, hogy az egyensúlyban lévő izolált rendszer minden elérhető állapotát azonos valószínűséggel foglalja el. Ez az alapvető posztulátum tehát lehetővé teszi, hogy az a priori valószínűséget egyenlővé tegyük a rendszer degeneráltságával, azaz az azonos energiájú különböző állapotok számával.