A valós értékű függvények Fourier-transzformációi a 0 Hz tengely körül szimmetrikusak. A mintavételezés után már csak a Fourier-transzformáció periodikus összegzése (ún. diszkrét idejű Fourier-transzformáció) áll rendelkezésre. Az eredeti transzformáció egyes frekvencia eltolt másolatait aliasoknak nevezzük. A szomszédos aliasok közötti frekvenciaeltolódás a mintavételi sebesség, amelyet fs-vel jelölünk. Ha az aliaszok (spektrálisan) kizárják egymást, akkor a mintákból visszaállítható az eredeti transzformáció és az eredeti folytonos függvény, vagy annak frekvenciaeltolódott változata (ha kívánatos). Az 1. ábra első és harmadik grafikonja egy alapsávú spektrumot ábrázol az aliasokat teljesen szétválasztó frekvenciájú mintavételezés előtt és után.
Az 1. ábra második grafikonja az (A, A+B) sávot elfoglaló (kékkel árnyékolt) és tükörképét (bézs árnyékolt) sávszélességű függvény frekvenciaprofilját ábrázolja. A roncsolásmentes mintavételezés feltétele, hogy a két sáv aliasai ne fedjék egymást, ha az fs összes egész számú többszörösével eltolódnak. A negyedik grafikon az alapsávú függvénnyel azonos frekvenciájú mintavételezés spektrális eredményét ábrázolja. A sebességet úgy választottuk ki, hogy megkerestük a legalacsonyabb olyan sebességet, amely A egész számú alszorosa és kielégíti az alapsáv Nyquist-kritériumát is: fs > 2B. Következésképpen a sávszűrő függvényt ténylegesen átalakítottuk alapsávra. Az összes többi átfedést elkerülő sebességet ezek az általánosabb kritériumok adják meg, ahol A és A+B helyébe fL, illetve fH lép:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}\leq f_{s}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}}}
, bármely egész n számra kielégítő: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}}\right\rfloor }
A legnagyobb n, amelyre a feltétel teljesül, a lehető legkisebb mintavételi sebességhez vezet.
Az ilyen fontos jelek közé tartozik a rádió középfrekvenciás (IF), rádiófrekvenciás (RF) jele és egy szűrőbank egyes csatornái.
Ha n > 1, akkor a feltételek azt eredményezik, amit néha alulmintavételezésnek, sávszűrős mintavételezésnek vagy a Nyquist-rátánál (2fH) kisebb mintavételi sebesség használatának neveznek. Adott mintavételi frekvencia esetén a jel spektrális sávjára vonatkozó korlátozásokra vonatkozó egyszerűbb képleteket az alábbiakban adjuk meg.
Példa: Tekintsük az FM-rádiót az alulmintavételezés gondolatának illusztrálására. Az Egyesült Államokban az FM-rádió az fL = 88 MHz és fH = 108 MHz közötti frekvenciasávban működik. A sávszélesség a következő: W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88\ \mathrm {MHz} =20\ \mathrm {MHz} }
A mintavételi feltételek 1 ≤ n ≤ ⌊ 5 esetén teljesülnek.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\ \mathrm {MHz} \over 20\ \ \mathrm {MHz} }\right\rfloor }
Tehát n lehet 1, 2, 3, 4 vagy 5. Az n = 5 érték adja a legalacsonyabb mintavételi frekvencia intervallumot 43.2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2\ \mathrm {MHz} <f_{\mathrm {s} }<44\ \mathrm {MHz} }
és ez az alulmintavételezés forgatókönyve. Ebben az esetben a jel spektruma a mintavételi frekvencia 2 és 2,5-szerese közé illeszkedik (magasabb, mint 86,4-88 MHz, de alacsonyabb, mint 108-110 MHz). Az n alacsonyabb értéke is hasznos mintavételi sebességhez vezet. Például n = 4 esetén az FM-sáv spektruma könnyen illeszkedik a mintavételi frekvencia 1,5 és 2,0-szorosa közé, 56 MHz közeli mintavételi frekvencia esetén (a Nyquist-frekvencia többszörösei a 28, 56, 84, 112 stb. frekvenciák). Lásd a jobb oldali ábrákat. Valós jel alulmintavételezésekor a mintavevő áramkörnek elég gyorsnak kell lennie ahhoz, hogy az érdeklődésre számot tartó legmagasabb jelfrekvenciát megragadja. Elméletileg minden egyes mintát végtelenül rövid időközönként kellene venni, de ez gyakorlatilag nem megvalósítható. Ehelyett a jel mintavételezését elég rövid időközönként kell elvégezni ahhoz, hogy a jel pillanatnyi értékét a legmagasabb frekvenciával lehessen reprezentálni. Ez azt jelenti, hogy a fenti FM-rádiós példában a mintavevő áramkörnek nem 43,2 MHz-es, hanem 108 MHz-es frekvenciájú jelet kell tudnia rögzíteni. A mintavételi frekvencia tehát csak egy kicsivel lehet nagyobb, mint 43,2 MHz, de a rendszer bemeneti sávszélességének legalább 108 MHz-nek kell lennie. Hasonlóképpen, a mintavételi időzítés pontosságának, vagy a mintavevő, gyakran az analóg-digitális átalakító apertúra bizonytalanságának is meg kell felelnie a 108 MHz-es mintavételezett frekvenciának, nem pedig az alacsonyabb mintavételi frekvenciának. Ha a mintavételi tételt úgy értelmezzük, hogy a legmagasabb frekvencia kétszeresét követeli meg, akkor a szükséges mintavételi sebességet a Nyquist-ráta 216 MHz-nél nagyobbnak kell feltételezni. Bár ez megfelel a mintavételi sebességre vonatkozó utolsó feltételnek, ez durván túlmintavételezett. Megjegyzendő, hogy ha egy sávot n > 1 mintavételezéssel mintavételezünk, akkor sávszűrőre van szükség az elszíneződésgátló szűrőhöz, nem pedig aluláteresztő szűrőre.
Amint láttuk, a reverzibilis mintavételezés normál alapsávú feltétele, hogy X(f) = 0 az intervallumon kívül: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}}}f_{\mathrm {s} }\right),}
és a rekonstrukciós interpolációs függvény, vagy aluláteresztő szűrő impulzusválasza sinc ( t / T ) . {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {sinc} \left(t/T\right).}
Az alulmintavételezés figyelembevétele érdekében a sávszűrési feltétel az, hogy X(f) = 0 a nyitott pozitív és negatív frekvenciasávok egyesülésén kívül
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {\displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)\cup \left({\frac {n-1}{2}f_{\mathrm {s} },{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} }\right)}
valamilyen pozitív egész számra n {\displaystyle n\,}
. amely tartalmazza a normál alapsávos feltételt, mint n = 1 esetben (kivéve, hogy ahol az intervallumok 0 frekvencián találkoznak, ott zártak lehetnek).
A megfelelő interpolációs függvény az aluláteresztő impulzusválaszok e különbségével adott sávszűrő:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}}\right)-(n-1)\operatorname {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}}\right)}
.
Másrészt a mintavételezett IF vagy RF jelek esetében általában nem a rekonstrukció a cél. Inkább a mintasorozatot az alapsávhoz közeli frekvenciára eltolt jel közönséges mintáiként lehet kezelni, és a digitális demoduláció ezen az alapon folytatható, felismerve a spektrumtükrözést, ha n páros.
Az alulmintavételezés további általánosításai lehetségesek több sávos jelek és többdimenziós tartományok (tér vagy téridő) feletti jelek esetére, és ezeket Igor Kluvánek részletesen kidolgozta.