josgood4 / Cosmic-Four

Előfeltételek

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv

Miért “kozmikus” a 4?

Érdekes, hogy ha a következő eljárást hajtjuk végre, mindig a 4-es számhoz jutunk (legalábbis az angol nyelvben):

1. Egy tetszőleges egész számmal kezdjük
2. Az egész számot szavakkal írjuk ki
3. A szám szóalakjában szereplő betűk számát számoljuk
4. A (2) lépéshez térünk vissza a (3) lépés eredményével, és addig folytatjuk, amíg el nem érjük a 4-et

Például a 10-es számmal kezdve:

• 10 kiírva “tíz”, amelynek 3 betűje van
• 3 kiírva “három”, amelynek 5 betűje van
• 5 kiírva “öt”, amelynek 4 betűje van
• 4 kiírva “négy”, amelynek 4 betűje van
  …

Ha ezt a folyamatot tovább ismételjük, mindig a 4-es számhoz jutunk.

A 4 azért “kozmikus”, mert ez az egyetlen szám, amelynek ugyanannyi betűje van, mint a számértéke.

Fő bizonyítás

Először is, hogy megmutassuk, ez minden pozitív számmal működik:

Alapeset: 1<=n<=4

Minden ilyen szám visszavezet a 4-hez:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> …

Induktív lépés:

Tegyük fel, hogy n>4 és minden 0<i<n esetében i visszavezet a 4-re. Tekintsük n+1.
Minden n>4 esetében a szám szóalakban szereplő betűk száma kisebb, mint a szám szám számértéke. n+1 tehát egy kisebb (pozitív) számhoz fog vezetni, és indukcióval egy olyanhoz, amely szintén visszavezet a 4-hez.
QED

Egyszerűbben fogalmazva, minden egyes iteráció egyre közelebb kerül a 4-es számhoz (azáltal, hogy zsugorodik az a szám, amellyel az iteráció kezdődött). Egy számnak nem lehet negatív betűszáma (sem nulla betűszáma), tehát ez azt jelenti, hogy a folyamat egyre kisebb és kisebb pozitív egész számokat eredményez, míg végül vagy 1, 2, 3 vagy 4 lesz, amelyek mindegyike a fenti módon visszavezet a 4-hez.

A többi speciális esetről:

• 0 -> 4
• negatív számok -> valamilyen pozitív szám -> … (a fentiek szerint) -> 4

Lemma: Betűszám < számérték

(n > 4 esetén)

Betűszám vs. Számérték

A betűszám jelentősen megnő minden alkalommal, amikor egy új tizedeshelyet érünk el, mivel a szám szóalakjához még egy “száz”, “ezer” stb. szót kell hozzáadni. Ez a növekedés nem több, mint húsz betű minden egyes elért tízes hatványnál. Így a betűszám nagyjából logaritmikusan növekszik a számok számértékéhez képest, és így mindig kisebb, mint a számértéke.

Eredmények

A következő ábrák a fenti eljárás számonként egyszeri elvégzésének eredményét mutatják 0-tól 100-ig, illetve 0-tól 10000-ig. Mint látható, ahogy a számok nőnek, a betűk száma a kiírt változatukban nagyon lassan növekszik, ami nagyobb bizalmat ad annak az elképzelésnek, hogy minden szám végül visszaáll négyre (a fenti magyarázat szerint).
(az interaktív verziókért kattintson az alábbi diagramokra)