Kvadratikus egyenletek

A bemenet újraformázása :

A bemeneten végrehajtott változtatások nem befolyásolhatják a megoldást:
(1): “x2” helyébe “x^2” lépett.

Lépésről lépésre történő megoldás :

A középső tag felosztásával próbálunk faktorálni

1.1 x2-2x-40 faktorálása
Az első tag, x2 az együtthatója 1 .
A középső tag, -2x az együtthatója -2 .
Az utolsó tag, “az állandó”, -40
1. lépés : Szorozzuk meg az első tag együtthatóját az 1 – -40 = -40 konstanssal
2. lépés : Keressük meg -40 két olyan tényezőjét, amelyek összege megegyezik a középső tag együtthatójával, ami -2 .

Megfigyelés : Nem találunk két ilyen tényezőt !!!
Következtetés : A trinomiális nem faktorálható

Egyenlet az 1. lépés végén :

 x2 - 2x - 40 = 0 

2. lépés :

Parabola, a csúcspont megtalálása :

2.1 Az y = x2-2x-40 csúcspontjának megtalálása
A paraboláknak van egy legmagasabb vagy egy legalacsonyabb pontja, amit csúcspontnak neveznek . A mi parabolánk kinyílik és ennek megfelelően van egy legalacsonyabb pontja (AKA abszolút minimum) . Ezt még az “y” ábrázolása előtt tudjuk, mert az első tag együtthatója, 1 , pozitív (nullánál nagyobb).
Minden parabolának van egy függőleges szimmetriavonala, amely áthalad a csúcsán. E szimmetria miatt a szimmetriavonal például a parabola két x -es metszéspontjának (gyökének vagy megoldásának) középpontján haladna keresztül. Azaz, ha a parabolának valóban két valós megoldása van.
A parabolák számos valós élethelyzetet modellezhetnek, például egy felfelé dobott tárgy föld feletti magasságát, bizonyos idő elteltével. A parabola csúcsa olyan információkkal szolgálhat számunkra, mint például az a maximális magasság, amelyet a felfelé dobott tárgy elérhet. Ezért szeretnénk, ha meg tudnánk találni a csúcs koordinátáit.
Minden parabolára,Ax2+Bx+C,a csúcs x -koordinátáját -B/(2A) adja meg. A mi esetünkben az x -koordináta 1,0000
A parabola képletébe az x-re 1,0000-t beillesztve kiszámíthatjuk az y -koordinátát :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
vagy y = -41,000

Parabola, csúcspont és X-intervallumok ábrázolása :

Törzsrajz a : y = x2-2x-40
Szimmetriatengely (szaggatott) {x}={ 1,00}
Sarkpont {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -metszéspontok (gyökerek) :
1. gyökér {x,y} = {-5.40, 0.00}
2. gyök {x,y} = {7.40, 0.00}

Kvadratikus egyenlet megoldása a négyzet kiegészítésével

2.2 Az x2-2x-40 = 0 megoldása a négyzet kiegészítésével .
Adjunk 40-et az egyenlet mindkét oldalához :
x2-2x = 40
Most jön az okos rész: Vegyük az x együtthatóját , ami 2 , osszuk el kettővel, ami 1 , és végül négyzeteljük ki, ami 1
Adjunk 1-et az egyenlet mindkét oldalához :
A jobb oldalon :
40 + 1 vagy, (40/1)+(1/1)
A két tört közös nevezője 1 A (40/1)+(1/1) hozzáadása 41/1-et ad
Így mindkét oldalhoz hozzáadva végül megkapjuk :
x2-2x+1 = 41
Az 1 hozzáadásával a bal oldalt tökéletes négyzetre egészítettük ki :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Azok a dolgok, amelyek egyenlőek ugyanazzal a dologgal, egyenlőek egymással is. Mivel
x2-2x+1 = 41 és
x2-2x+1 = (x-1)2
akkor a tranzitivitás törvénye szerint
(x-1)2 = 41
Ezt az egyenletet egyenletnek nevezzük. #2.2.1
A négyzetgyök elv azt mondja, hogy ha két dolog egyenlő, akkor a négyzetgyökük is egyenlő.
Megjegyezzük, hogy
(x-1)2 négyzetgyöke
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Most, a négyzetgyök elvét alkalmazva az Eq. #2.2.1 kapjuk:
x-1 = √ 41
Adjunk 1-et mindkét oldalhoz, hogy megkapjuk:
x = 1 + √ 41
Mivel a négyzetgyöknek két értéke van, az egyik pozitív, a másik negatív
x2 – 2x – 40 = 0
két megoldása van:
x = 1 + √ 41
vagy
x = 1 – √ 41

Kvadratikus egyenlet megoldása a kvadratikus képlet segítségével

2.3 Az x2-2x-40 = 0 megoldása a kvadratikus képlet segítségével .
A kvadratikus képlet szerint x , az Ax2+Bx+C = 0 , ahol A, B és C számok, amelyeket gyakran együtthatóknak neveznek, megoldása a következő :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
A mi esetünkben A = 1
B = -2
C = -40
Ezeknek megfelelően B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
A négyzetes képletet alkalmazva :
2 ± √ 164
x = —–
2
Egyszerűsíthető √ 164 ?
Igen! A 164 prímtényezője
2-2-41
Hogy valamit ki tudjunk venni a gyök alól, ahhoz 2 példánynak kell lennie (mert négyzetet, azaz második gyökét vesszük).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , 4 tizedesjegyre kerekítve 6 .4031
Így most a következőket keressük:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Két valós megoldás:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
vagy:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5,403

Két megoldást találtunk :