Molte aree della matematica sono iniziate con lo studio di problemi del mondo reale, prima che le regole e i concetti sottostanti fossero identificati e definiti come strutture astratte. Per esempio, la geometria ha le sue origini nel calcolo delle distanze e delle aree nel mondo reale; l’algebra è iniziata con i metodi di risoluzione dei problemi in aritmetica.
L’astrazione è un processo continuo in matematica e lo sviluppo storico di molti argomenti matematici mostra una progressione dal concreto all’astratto. Per esempio, i primi passi nell’astrazione della geometria sono stati fatti storicamente dagli antichi greci, con gli Elementi di Euclide che sono la prima documentazione esistente degli assiomi della geometria piana, sebbene Proclo racconti di una precedente assiomatizzazione da parte di Ippocrate di Chio. Nel XVII secolo, Cartesio introdusse le coordinate cartesiane che permisero lo sviluppo della geometria analitica. Ulteriori passi nell’astrazione furono fatti da Lobachevsky, Bolyai, Riemann e Gauss, che generalizzarono i concetti della geometria per sviluppare geometrie non euclidee. Più tardi nel XIX secolo, i matematici generalizzarono ulteriormente la geometria, sviluppando aree come la geometria in n dimensioni, la geometria proiettiva, la geometria affine e la geometria finita. Infine il “programma di Erlangen” di Felix Klein identificò il tema di fondo di tutte queste geometrie, definendo ciascuna di esse come lo studio delle proprietà invarianti sotto un dato gruppo di simmetrie. Questo livello di astrazione ha rivelato connessioni tra la geometria e l’algebra astratta.
In matematica, l’astrazione può essere vantaggiosa nei seguenti modi:
- Svela profonde connessioni tra diverse aree della matematica.
- I risultati noti in un’area possono suggerire congetture in un’altra area correlata.
- Tecniche e metodi di un’area possono essere applicati per dimostrare risultati in altre aree correlate.
- I modelli di un oggetto matematico possono essere generalizzati ad altri oggetti simili nella stessa classe.
D’altra parte, l’astrazione può anche essere svantaggiosa in quanto concetti altamente astratti possono essere difficili da imparare. Un certo grado di maturità matematica e di esperienza può essere necessario per l’assimilazione concettuale delle astrazioni. Come tale, uno dei principi fondamentali dell’approccio Montessori all’educazione matematica è quello di incoraggiare i bambini a passare dagli esempi concreti al pensiero astratto.
Bertrand Russell, in The Scientific Outlook (1931), scrive che “Il linguaggio ordinario è totalmente inadatto ad esprimere ciò che la fisica afferma realmente, poiché le parole della vita quotidiana non sono sufficientemente astratte. Solo la matematica e la logica matematica possono dire tutto quello che il fisico intende dire.”
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