Equazioni quadratiche

Riformattare l’input :

Le modifiche apportate all’input non dovrebbero influenzare la soluzione:
(1): “x2” è stato sostituito da “x^2”.

Soluzione passo dopo passo :

Tentando di fattorizzare dividendo il termine centrale

1.1 Fattorizzando x2-2x-40
Il primo termine è, x2 il suo coefficiente è 1 .
Il termine centrale è, -2x il suo coefficiente è -2 .
L’ultimo termine, “la costante”, è -40
Passo-1 : Moltiplicare il coefficiente del primo termine per la costante 1 – -40 = -40
Passo-2 : Trovare due fattori di -40 la cui somma sia uguale al coefficiente del termine centrale, che è -2 .

Osservazione : Non si trovano due fattori di questo tipo!
Conclusione: il trinomio non può essere fattorizzato

Equazione alla fine del passo 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Passo 2 :

Parabola, trovare il vertice :

2.1 Trovare il vertice di y = x2-2x-40
Le parabole hanno un punto massimo o minimo chiamato vertice. La nostra parabola si apre e di conseguenza ha un punto più basso (AKA minimo assoluto). Lo sappiamo ancora prima di tracciare “y” perché il coefficiente del primo termine, 1 , è positivo (maggiore di zero).
Ogni parabola ha una linea verticale di simmetria che passa per il suo vertice. A causa di questa simmetria, la linea di simmetria passerebbe, per esempio, per il punto medio delle due intercette x (radici o soluzioni) della parabola. Cioè, se la parabola ha effettivamente due soluzioni reali.
Le parabole possono modellare molte situazioni della vita reale, come l’altezza dal suolo di un oggetto lanciato verso l’alto, dopo un certo periodo di tempo. Il vertice della parabola può fornirci informazioni, come l’altezza massima che quell’oggetto, lanciato verso l’alto, può raggiungere. Per questo motivo vogliamo essere in grado di trovare le coordinate del vertice.
Per qualsiasi parabola, Ax2+Bx+C, la coordinata x del vertice è data da -B/(2A) . Nel nostro caso la coordinata x è 1,0000
Inserendo la formula della parabola 1,0000 per x possiamo calcolare la coordinata y:
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
o y = -41.000

Parabola, Grafico del Vertice e Intercetti X :

Trama della radice per : y = x2-2x-40
Asse di simmetria (tratteggiato) {x}={ 1.00}
Verticolo a {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Intercetti (radici) :
Rota 1 a {x,y} = {-5,40, 0,00}
Root 2 a {x,y} = { 7.40, 0.00}

Solvere l’equazione quadratica completando il quadrato

2.2 Risolvere x2-2x-40 = 0 completando il quadrato .
Aggiungere 40 a entrambi i lati dell’equazione:
x2-2x = 40
Ora la parte intelligente: Prendi il coefficiente di x, che è 2, dividi per due, dando 1, e infine eleva al quadrato dando 1
Aggiungi 1 a entrambi i lati dell’equazione :
Sul lato destro abbiamo :
40 + 1 o, (40/1)+(1/1)
Il denominatore comune delle due frazioni è 1 Aggiungendo (40/1)+(1/1) si ottiene 41/1
Quindi aggiungendo a entrambi i lati si ottiene finalmente :
x2-2x+1 = 41
Aggiungendo 1 abbiamo completato il lato sinistro in un quadrato perfetto :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Cose che sono uguali alla stessa cosa sono anche uguali tra loro. Poiché
x2-2x+1 = 41 e
x2-2x+1 = (x-1)2
allora, secondo la legge della transitività,
(x-1)2 = 41
ci riferiremo a questa equazione come Eq. #2.2.1
Il principio della radice quadrata dice che quando due cose sono uguali, le loro radici quadrate sono uguali.
Nota che la radice quadrata di
(x-1)2 è
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Ora, applicando il principio della radice quadrata a Eq. #2.2.1 otteniamo:
x-1 = √ 41
Aggiungi 1 ad entrambe le parti per ottenere:
x = 1 + √ 41
Siccome una radice quadrata ha due valori, uno positivo e l’altro negativo
x2 – 2x – 40 = 0
ha due soluzioni:
x = 1 + √ 41
o
x = 1 – √ 41

Solvere l’equazione quadratica usando la formula quadratica

2.3 Risolvere x2-2x-40 = 0 con la formula quadratica.
Secondo la Formula Quadratica, x , la soluzione di Ax2+Bx+C = 0 , dove A, B e C sono numeri, spesso chiamati coefficienti, è data da :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
Nel nostro caso, A = 1
B = -2
C = -40
Di conseguenza, B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Applicando la formula quadratica :
2 ± √ 164
x = —–
2
Si può semplificare √ 164 ?
Sì! La fattorizzazione prima di 164 è
2-2-41
Per poter togliere qualcosa da sotto il radicale, ci devono essere 2 istanze di esso (perché stiamo prendendo un quadrato cioè la seconda radice).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , arrotondato a 4 cifre decimali, è 6.4031
Quindi ora stiamo guardando:
x = ( 2 ± 2 – 6.403 ) / 2
Due soluzioni reali:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
oppure:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Sono state trovate due soluzioni :