La probabilità a priori ha un’importante applicazione nella meccanica statistica. La versione classica è definita come il rapporto tra il numero di eventi elementari (per esempio il numero di volte che viene lanciato un dado) e il numero totale di eventi – e questi considerati in modo puramente deduttivo, cioè senza alcuna sperimentazione. Nel caso del dado, se lo guardiamo sul tavolo senza lanciarlo, ogni evento elementare è ragionato deduttivamente per avere la stessa probabilità – così la probabilità di ogni risultato di un lancio immaginario del dado (perfetto) o semplicemente contando il numero di facce è 1/6. Ogni faccia del dado appare con uguale probabilità – essendo la probabilità una misura definita per ogni evento elementare. Il risultato è diverso se lanciamo il dado venti volte e chiediamo quante volte (su 20) il numero 6 appare sulla faccia superiore. In questo caso entra in gioco il tempo e abbiamo un diverso tipo di probabilità a seconda del tempo o del numero di volte che il dado viene lanciato. D’altra parte, la probabilità a priori è indipendente dal tempo – si può guardare il dado sul tavolo tutto il tempo che si vuole senza toccarlo e si deduce che la probabilità che il numero 6 appaia sulla faccia superiore è 1/6.
In meccanica statistica, per esempio quella di un gas contenuto in un volume finito V {\displaystyle V}
, sia le coordinate spaziali q i {\displaystyle q_{i}
e le coordinate di quantità di moto p i {displaystyle p_{i}
dei singoli elementi del gas (atomi o molecole) sono finite nello spazio di fase attraversato da queste coordinate. In analogia al caso del dado, la probabilità a priori è qui (nel caso di un continuo) proporzionale all’elemento di volume dello spazio di fase Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
diviso per h {displaystyle h}
, ed è il numero di onde stazionarie (cioè di stati) in esso presenti, dove Δ q {\displaystyle \Delta q}
è l’intervallo della variabile q {displaystyle q}
e Δ p {displaystyle \Delta p}
è l’intervallo della variabile p {\displaystyle p}
(qui per semplicità considerato in una dimensione). In 1 dimensione (lunghezza L {\displaystyle L}
) questo numero o peso statistico o ponderazione a priori è L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. In 3 dimensioni consuete (volume V {\displaystyle V}
) il numero corrispondente può essere calcolato come V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}
. Per comprendere questa quantità come un numero di stati in meccanica quantistica (cioè ondulatoria), ricordiamo che in meccanica quantistica ogni particella è associata a un’onda di materia che è la soluzione di un’equazione di Schrödinger. Nel caso di particelle libere (di energia ϵ = p 2 / 2 m {displaystyle \epsilon ={bf {p}^{2}/2m}
) come quelli di un gas in una scatola di volume V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
una tale onda di materia è esplicitamente ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(m\pi y/L)\sin(n\pi z/L)}
,
dove l , m , n {\displaystyle l,m,n}
sono numeri interi. Il numero di diversi ( l , m , n ) {displaystyle (l,m,n)}
valori e quindi stati nella regione tra p , p + d p , p 2 = p 2 , {displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}^{2},
si trova quindi ad essere l’espressione precedente V 4 π p 2 d p / h 3 {displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
considerando l’area coperta da questi punti. Inoltre, vista la relazione di incertezza, che in 1 dimensione spaziale è Δ q Δ p ≥ h {\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h}
,
questi stati sono indistinguibili (cioè questi stati non portano etichette). Una conseguenza importante è un risultato noto come teorema di Liouville, cioè l’indipendenza temporale di questo elemento di volume dello spazio di fase e quindi della probabilità a priori. Una dipendenza dal tempo di questa quantità implicherebbe informazioni note sulla dinamica del sistema, e quindi non sarebbe una probabilità a priori. Così la regione
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {\displaystyle \Omega :={frac {Delta q\Delta p},\int \Delta q\Delta p},\int \Delta q\Delta p=const.,
quando differenziato rispetto al tempo t {displaystyle t}
si ottiene zero (con l’aiuto delle equazioni di Hamilton): Il volume al tempo t {\displaystyle t}
è lo stesso del tempo zero. Si descrive questo anche come conservazione dell’informazione.
Nella teoria quantistica completa si ha una legge di conservazione analoga. In questo caso, la regione dello spazio delle fasi è sostituita da un sottospazio dello spazio degli stati espresso in termini di un operatore di proiezione P {displaystyle P}
, e invece della probabilità nello spazio delle fasi, si ha la densità di probabilità Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP},\frac;\frac;\frac;N=TrP=const.,}
dove N {\displaystyle N}
è la dimensionalità del sottospazio. La legge di conservazione in questo caso è espressa dall’unitarietà della matrice S. In entrambi i casi, le considerazioni presuppongono un sistema chiuso isolato. Questo sistema chiuso isolato è un sistema con (1) un’energia fissa E {displaystyle E}
e (2) un numero fisso di particelle N {\displaystyle N}
in (c) uno stato di equilibrio. Se si considera un numero enorme di repliche di questo sistema, si ottiene quello che si chiama un “insieme microcanonico”. È per questo sistema che si postula nella statistica quantistica il “postulato fondamentale di uguali probabilità a priori di un sistema isolato´´. Questo dice che il sistema isolato in equilibrio occupa ciascuno dei suoi stati accessibili con la stessa probabilità. Questo postulato fondamentale ci permette quindi di equiparare la probabilità a priori alla degenerazione di un sistema, cioè al numero di stati diversi con la stessa energia.