Le trasformate di Fourier di funzioni a valore reale sono simmetriche attorno all’asse 0 Hz. Dopo il campionamento, solo una sommatoria periodica della trasformata di Fourier (chiamata trasformata di Fourier a tempo discreto) è ancora disponibile. Le singole copie spostate in frequenza della trasformazione originale sono chiamate alias. L’offset di frequenza tra alias adiacenti è la frequenza di campionamento, indicata con fs. Quando gli alias sono mutuamente esclusivi (spettralmente), la trasformazione originale e la funzione continua originale, o una versione spostata in frequenza di essa (se lo si desidera), possono essere recuperati dai campioni. Il primo e il terzo grafico della Figura 1 raffigurano uno spettro a banda base prima e dopo essere stati campionati a una velocità che separa completamente gli alias.
Il secondo grafico della Figura 1 raffigura il profilo di frequenza di una funzione passa-banda che occupa la banda (A, A+B) (ombreggiata in blu) e la sua immagine speculare (ombreggiata in beige). La condizione per una frequenza di campionamento non distruttiva è che gli alias di entrambe le bande non si sovrappongano quando vengono spostati di tutti i multipli interi di fs. Il quarto grafico mostra il risultato spettrale del campionamento alla stessa velocità della funzione a banda base. Il tasso è stato scelto trovando il tasso più basso che è un sottomultiplo intero di A e soddisfa anche il criterio di Nyquist della banda base: fs > 2B. Di conseguenza, la funzione passa-banda è stata effettivamente convertita in banda base. Tutti gli altri tassi che evitano la sovrapposizione sono dati da questi criteri più generali, dove A e A+B sono sostituiti da fL e fH, rispettivamente:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}{leq f_{s}{leq {\frac {2f_{L}{n-1}}
, per qualsiasi numero intero n che soddisfi: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {displaystyle 1\leq n\leq \left\lfloor {frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}destra\rfloor }
Il più alto n per cui la condizione è soddisfatta porta alle più basse frequenze di campionamento possibili.
Segnali importanti di questo tipo includono la frequenza intermedia (IF) di una radio, il segnale a radiofrequenza (RF), e i singoli canali di un banco di filtri.
Se n > 1, allora le condizioni risultano in ciò che è talvolta indicato come sottocampionamento, campionamento passa banda, o utilizzando una frequenza di campionamento inferiore a quella di Nyquist (2fH). Per il caso di una data frequenza di campionamento, formule più semplici per i vincoli sulla banda spettrale del segnale sono date qui sotto.
Esempio: Consideriamo la radio FM per illustrare l’idea del sottocampionamento. Negli Stati Uniti, la radio FM opera sulla banda di frequenza da fL = 88 MHz a fH = 108 MHz. La larghezza di banda è data da W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108 \mathrm {MHz} -88 \mathrm {MHz} =20 \mathrm {MHz} }
Le condizioni di campionamento sono soddisfatte per 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\displaystyle 1\leq n\leq \lfloor 5.4\rfloor =\left\lfloor {108\mathrm {MHz} \over 20 \mathrm {MHz} \diritto al pavimento }
Quindi, n può essere 1, 2, 3, 4, o 5. Il valore n = 5 dà il più basso intervallo di frequenze di campionamento 43.2 M H z < f s < 44 M H z {\displaystyle 43.2 \mathrm {MHz} <f_{mathrm {s} }<44 \mathrm {MHz} }
e questo è uno scenario di sottocampionamento. In questo caso, lo spettro del segnale si adatta tra 2 e 2,5 volte la frequenza di campionamento (superiore a 86,4-88 MHz ma inferiore a 108-110 MHz). Un valore più basso di n porterà anche a una frequenza di campionamento utile. Per esempio, usando n = 4, lo spettro della banda FM si adatta facilmente tra 1,5 e 2,0 volte la frequenza di campionamento, per una frequenza di campionamento vicina ai 56 MHz (i multipli della frequenza di Nyquist sono 28, 56, 84, 112, ecc.) Vedi le illustrazioni a destra. Quando si sottocampiona un segnale del mondo reale, il circuito di campionamento deve essere abbastanza veloce da catturare la più alta frequenza del segnale di interesse. Teoricamente, ogni campione dovrebbe essere preso durante un intervallo infinitesimamente breve, ma questo non è praticamente fattibile. Invece, il campionamento del segnale dovrebbe essere fatto in un intervallo abbastanza breve da poter rappresentare il valore istantaneo del segnale con la frequenza più alta. Questo significa che nell’esempio della radio FM di cui sopra, il circuito di campionamento deve essere in grado di catturare un segnale con una frequenza di 108 MHz, non 43,2 MHz. Quindi, la frequenza di campionamento può essere solo un po’ maggiore di 43,2 MHz, ma la larghezza di banda in ingresso del sistema deve essere di almeno 108 MHz. Allo stesso modo, la precisione dei tempi di campionamento, o l’incertezza di apertura del campionatore, spesso il convertitore analogico-digitale, deve essere appropriata per le frequenze che vengono campionate 108MHz, non la frequenza di campionamento inferiore. Se il teorema del campionamento viene interpretato come se richiedesse il doppio della frequenza più alta, allora la frequenza di campionamento richiesta dovrebbe essere maggiore della frequenza di Nyquist 216 MHz. Mentre questo soddisfa l’ultima condizione sulla frequenza di campionamento, è grossolanamente sovracampionato. Si noti che se una banda è campionata con n > 1, allora è richiesto un filtro passa-banda per il filtro anti-aliasing, invece di un filtro passa-basso.
Come abbiamo visto, la normale condizione di banda base per il campionamento reversibile è che X(f) = 0 al di fuori dell’intervallo ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{frac {1}{2}}f_{\mathrm {s}},{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} }destra),}
Per accomodare il sottocampionamento, la condizione passa-banda è che X(f) = 0 fuori dall’unione delle bande di frequenza positive e negative aperte
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {displaystyle \sinistra(-{frac {n}{2}}f_{\mathrm {s}},-{frac {n-1}{2}f_{\mathrm {s} a destra)\cup \sinistra({frac {n-1}{2}f_{\mathrm {s},{frac {n}{2}f_{\mathrm {s} a destra)}
per qualche numero intero positivo n
. che include la normale condizione di banda base come nel caso n = 1 (tranne che dove gli intervalli si uniscono a frequenza 0, possono essere chiusi).
La funzione di interpolazione corrispondente è il filtro passa-banda dato da questa differenza di risposte all’impulso passa-basso:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( n – 1 ) t T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \sinistra({\frac {nt}{T}}destra)-(n-1)\operatorname {sinc}
.
D’altra parte, la ricostruzione non è di solito l’obiettivo con i segnali campionati IF o RF. Piuttosto, la sequenza di campioni può essere trattata come campioni ordinari del segnale spostati in frequenza vicino alla banda base, e la demodulazione digitale può procedere su questa base, riconoscendo il rispecchiamento dello spettro quando n è pari.
Sono possibili ulteriori generalizzazioni del sottocampionamento per il caso di segnali con bande multiple, e segnali su domini multidimensionali (spazio o spazio-tempo) e sono stati elaborati in dettaglio da Igor Kluvánek.