実数値関数のフーリエ変換は、0Hzを軸に左右対称になる。 サンプリング後は、フーリエ変換の周期的な総和（離散時間フーリエ変換といいます）だけが残ります。 元の変換の周波数シフトされた個々のコピーをエイリアスと呼びます。 隣接するエイリアス間の周波数オフセットがサンプリングレートであり、fs で表されます。 エイリアスが相互に排他的であれば、元の変換と元の連続関数、あるいは（必要であれば）周波数シフトしたものをサンプルから復元することができる。 図1の第1および第3のグラフは、エイリアスを完全に分離する速度でサンプリングする前と後のベースバンドスペクトルを示している
図1の第2のグラフは、帯域（A、A+B）（青色の網掛け）を占めるバンドパス関数とそのミラーイメージ（ベージュの網掛け）の周波数プロファイルを示している。 非破壊サンプルレートの条件は、fsのすべての整数倍でシフトしたときに、両帯域のエイリアスが重ならないことである。 4つ目のグラフは、ベースバンド関数と同じレートでサンプリングした場合のスペクトルの結果である。 このレートは、Aの整数倍で、かつベースバンドのナイキスト基準であるfs > 2Bを満たす最低のレートを見つけることによって選択された。 その結果、バンドパス関数は事実上ベースバンドに変換された。 重なりを避ける他のすべてのレートは、AおよびA+BをそれぞれfLおよびfHに置き換えた、より一般的な基準によって与えられます：
2 f H n ≦ f s ≦ 2 f L n – 1 {displaystyle {frac {2f_{H}}{n}leq f_{s}} {frac {2f_{L}}{n-1}} }} {frac{n}leq {f2f_{H}} {f1}} {n}leq {f1}} {f1}L{n}}leq {f1
, を満たす任意の整数nに対して。 1 ≦ n ≦ ⌊f H f H – f L ⌋ { {displaystyle 1}leq n}leq \lfloor {}frac {f_{H}-f_{L}}} {trightrfloor } {displaystyle 2}lq {f_{H}{h}{f_{L}}} {tlight } {frac {f_{H}-f_{L}}} {light } {frac {f_{H}f_{L}}} {rightrfloor }}
The highest n for which is satisfied the condition is leading to the lowest possible sampling rates.
この種の重要な信号には、ラジオの中間周波数（IF）、無線周波数（RF）信号、フィルター バンクの個々のチャネルが含まれます。
n > 1 の場合、条件はアンダーサンプリング、バンドパス サンプリング、またはナイキスト率（2fH）未満のサンプリング レートを使用と言われる結果になりました。
例 アンダーサンプリングの考え方を説明するために、FMラジオを考えてみましょう。 米国では、FMラジオはfL=88MHzからfH=108MHzの周波数帯域で運用されている。 帯域幅は、W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z { {displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108 \mathrm {MHz}} で与えられます。 -88 \mathrm {MHz} =20 \mathrm {MHz}. }
The sampling conditions are satisfied for 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.[サンプリング条件]を満たす。4 ⌋= ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {displaystyle 1⌋ n⌋ ⌋ 5.4 ⌋rfloor =⌈ left ⌋ {108 Mathrm {MHz} ⌈ ⌊ 5. \over 20 \mathrm {MHz}. } }rightrfloor }
したがって、nは1、2、3、4、5のいずれでもよいことになります。 n = 5の場合、最低サンプリング周波数間隔43.2 M H z < f s < 44 M H z { {displaystyle 43.2 \mathrm {MHz}}} が得られます。 <f_{mathrm {s} }<44 \mathrm {MHz} }. }
と、アンダーサンプリングのシナリオになっていますね。 この場合、信号スペクトルはサンプリングレートの2倍から2.5倍の間に収まる（86.4-88MHzより高く、108-110MHzより低い）。 nの値が低ければ、有用なサンプリングレートにもなります。 例えば、n=4の場合、FM帯のスペクトルはサンプリングレートの1.5倍から2.0倍の間に収まりやすく、56MHz付近のサンプリングレート（ナイキスト周波数の倍数は28、56、84、112など）となります。 右のイラストをご覧ください。 現実の信号をアンダーサンプリングする場合、サンプリング回路は、関心のある最も高い信号周波数を捕らえるのに十分な速度が必要である。 理論的には、無限に短い間隔でサンプリングすればよいが、現実的には不可能である。 その代わり、信号のサンプリングは、最も高い周波数を持つ信号の瞬時値を表すことができるほど短い間隔で行う必要がある。 つまり、上記のFMラジオの例では、サンプリング回路は43.2MHzではなく、108MHzの周波数の信号を取り込むことができなければならないのです。 したがって、サンプリング周波数は43.2MHzより少し大きい程度でもよいが、システムの入力帯域幅は少なくとも108MHzであることが必要である。 同様に、サンプリングタイミングの精度、つまりサンプラー、頻繁に使用するアナログ・デジタル変換器の開口部の不確かさは、低いサンプルレートではなく、サンプリングされる周波数108MHzに適したものでなければならないのです。 サンプリング定理を最高周波数の2倍と解釈すれば、必要なサンプリングレートはナイキストレート216MHzより大きいと仮定することになる。 これはサンプリングレートに関する最後の条件を満たすが、著しくオーバーサンプリングである。 なお，n > 1でバンドサンプリングする場合は，アンチエイリアスフィルタにローパスフィルタではなく，バンドパスフィルタが必要になります．
これまで見てきたように、可逆サンプリングの通常のベースバンド条件は、区間外ではX(f)=0となります。 ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {displaystyle \left(-{@frac {1}{2}}f_{mathrm {s} },{@frac {1}{2}}f_{mathrm {s} }right),}
そして再構成補間関数（ローパスフィルタのインパルス応答）は sinc ( t / T ) となります． \♪♪～
アンダーサンプリングに対応するため、バンドパス条件は、正負のオープン周波数バンドのユニオンの外側でX(f)=0
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {displaystyle \left(-{03frac {n}{2}}f_{Θmathrm {s} },-{03frac {n-1}{2}}f_{Θmathrm {s} }right)\cup \left({03frac {n-1}{2}}f_{Θmathrm {s} },{03frac {n}{2}}f_{Θmathrm {s} }right)}} ｛Discup ｛Displaystyle ｝は、｛displaystyle ｝を意味します。
for some positive integer n {displaystyle n,}
. であり、n=1の場合の通常のベースバンド条件を含む（ただし、0周波数で区間が重なる場合は閉じることができる）。
対応する補間関数は、このローパスインパルス応答の差で与えられるバンドパスフィルタです：
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {displaystyle n}operatorname {sinc} 。 \Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για \ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
一方、サンプリングされたIFまたはRF信号では、通常、再構成は目的ではありません。 むしろ、サンプル列はベースバンド近くまで周波数シフトされた信号の通常のサンプルとして扱うことができ、デジタル復調はそれに基づいて進められ、n が偶数の場合はスペクトルミラーリングを認識できる。
複数のバンドを持つ信号や多次元ドメイン（空間または時空）の信号の場合のアンダーサンプリングのさらなる一般化が可能で、Igor Kluvánek によって詳細に研究されている。