先験的確率は統計力学の重要な応用分野である。 古典的なものは、事象の総数に対する素事象の数（例えば、サイコロを投げる回数）の比として定義され、これらは純粋に演繹的に、すなわち、実験なしで考えられました。 ダイスの場合、投げることなくテーブルの上のダイスを見ると、それぞれの素事象は同じ確率を持つと演繹的に推論される。したがって、（完全）ダイスを想像して投げたり、単に面の数を数えたりしたときのそれぞれの結果の確率は1/6である。 サイコロの各面が同じ確率で現れる – 確率は各初等事象に定義された尺度である。 しかし，ダイスを20回投げて，そのうちの何回目に6の目が出るかを問うと，結果は違ってくる． この場合、時間が絡んでくるので、時間やサイコロを投げる回数によって、異なるタイプの確率になる。 一方、先験的確率は時間とは無関係です。テーブルの上のダイスに手を触れずに好きなだけ見て、6の数字が上面に出る確率は1/6だと推論することができるのです。
統計力学では、例えば有限体積Vに含まれる気体のそれ{displaystyle V}は、次のようになる。
, 空間座標q i {displaystyle q_{i}} の両方がある。
および運動量座標p i {displaystyle p_{i}} {displaystyle p_{i}} 
divided by h {displaystyle h} {displaystyle h}.
, そしてそこにある定在波（＝状態）の数で、Δ q {displaystyle \Delta q} とします。
は変数q{displaystyle q}の範囲です。
とΔp {displaystyle \Delta p} の2つがある。
は変数p {displaystyle p}の範囲である。
(ここでは簡単のため1次元で考える)。 1次元（長さL {displaystyle L}
）では、この数または統計的重み付けまたはアプリオリ重み付けはL Δp / h {displaystyle LDelta p/h} となる。
. 慣用的な3次元（体積V { {displaystyle V}
）では、対応する数は、V 4 π p 2 Δp / h 3 {displaystyle V4 ◇pi p^{2} ◇Delta p/h^{3}} であると計算されることができる。
. この量が量子（波）力学における状態の数を与えると理解するために、量子力学ではすべての粒子がシュレーディンガー方程式の解である物質波と関連付けられていることを思い出してください。 自由粒子(of energy ϵ = p 2 / 2 m { {displaystyle \epsilon ={happybf {p}}^{2}/2m}) の場合。
) like those of gas in the box of volume V = L 3 {displaystyle V=L^{3}}
このような物質波は、明示的に ψ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {displaystyle \psi \propto \sin(l\pi x/L)\sin(mpi y/L)\sin(n\pi z/L)} である。
,
where l , m , n {displaystyle l,m,n} …
は整数値である。 The number of different ( l , m , n ) {displaystyle (l,m,n)} は整数である。
p , p + d p , p 2 = p 2 , {displaystyle p,p+dp,p^{2}={}bf {p}^{2} 間の領域で値および状態が指定されます。}
は次に、上記の式V 4 π p 2 d p / h 3 {displaystyle V4pi p^{2}dp/h^{3}} であると求まる。
これらの点がカバーする領域を考慮することで、この点がカバーできる。 また、1空間次元でのΔq Δp ≧h {displaystyle \Delta q Δp ≧geq h}という不確定性関係から
,
these states are indistinguishable (i = these states do not carry labels.). 重要な帰結はリューヴィルの定理として知られる結果、すなわち、この位相空間体積要素、したがって先験的確率の時間的独立性である。 この量の時間依存性は、システムのダイナミクスに関する既知の情報を意味するので、先験的な確率とは言えません。 したがって、領域
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {displaystyle \Omega :={\frac {Delta qDelta p}{cint \Delta qDelta p}},\;\;\int \Delta qDelta p=const..,}
when differentiated with respect to time t {displaystyle t},
When differentiated with respect to time t {displaystyle t},When differentiated with time t {displaystyle t
は（ハミルトン方程式の助けを借りて）ゼロになる。 The volume at time t {displaystyle t} は次のようになる。
は、時間ゼロのときと同じである。 これも情報保存と表現する人がいる。
完全量子論においても、同様の保存則がある。 この場合、位相空間領域は、射影演算子P {displaystyle P}の項で表される状態空間の部分空間によって置き換えられる。
, そして位相空間における確率の代わりに、確率密度Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {displaystyle \Sigma :={frac {P}{TrP}},\;N=TrP=const.,}
ここでN {displaystyle N} は
は部分空間の次元数である。 この場合の保存則はS-matrixの単位性で表される。 いずれの場合も、考察は閉じた孤立系を想定している。 この閉じた孤立系は、（1）固定エネルギーE{displaystyle E}を持つ系である。
および (2) 固定数の粒子N {displaystyle N} を持つ。
で(c)平衡状態である。 この系の膨大な数の複製を考えると、“マイクロカノニカル・アンサンブル´`と呼ばれるものが得られる。 この系に対して、量子統計学では「孤立系の先験的確率が等しいという基本的な仮定」を仮定しています。 これは、平衡状態にある孤立系は、そのアクセス可能な各状態を同じ確率で占めるというものです。 したがって、この基本ポスチュレートは、系の縮退、すなわち同じエネルギーを持つ異なる状態の数に先験的確率を等しくすることを可能にする。