数学の多くの分野は、基礎となる規則や概念が特定され、抽象的な構造として定義される前に、現実世界の問題を研究することから始まりました。 例えば、幾何学は現実世界の距離や面積の計算に起源を持ち、代数は算術の問題を解く方法から始まった。
抽象化は数学において進行中のプロセスであり、多くの数学トピックの歴史的発展は、具体から抽象への進行を示している。 たとえば、幾何学の抽象化の最初のステップは古代ギリシャ人によって行われ、ユークリッドの「エレメント」が平面幾何学の公理を記した現存する最古の文書となったが、プロクロスはそれ以前にキオスのヒポクラテスが公理化したと語っている。 17世紀には、デカルトがデカルト座標を導入し、解析幾何学の発展を可能にした。 さらに、ロバチェフスキー、ボリャイ、リーマン、ガウスは、幾何学の概念を一般化して非ユークリッド幾何学を開発し、抽象化のステップを踏んだ。 その後、19世紀に入ると、数学者は幾何学をさらに一般化し、n次元幾何学、射影幾何学、アフィン幾何学、有限幾何学などの分野を発展させた。 そして、フェリックス・クラインの「エルランゲン計画」によって、これらの幾何学の根底にあるテーマが明らかにされ、それぞれの幾何学は、与えられた対称性のグループのもとで不変な性質を研究するものであると定義された。
数学において、抽象化は以下の点で有利である。
- 数学の異なる領域間の深いつながりを明らかにする。
- ある分野の技術や方法は、他の関連する分野の結果を証明するために適用できる。
- ある数学的オブジェクトからのパターンは、同じクラスの他の類似のオブジェクトに一般化できる。
その一方で、抽象度の高い概念は習得が困難であるため、抽象化が不利なこともありうる。 抽象化の概念的な同化には、ある程度の数学的成熟と経験が必要かもしれない。
バートランド・ラッセルは、『科学的展望』（1931年）の中で、「日常生活の言葉は十分に抽象的ではないので、物理学が本当に主張していることを表現するのに、普通の言葉はまったく適していない」と書いている。 物理学者が言いたいことを少しでも言えるのは、数学と数理論理だけである」
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