josgood4 / Cosmic-Four

Edellytykset

• Python 3
• pip install inflect
• pip install csv

Miksi 4 on ”kosminen”?

Huomionarvoista on, että jos suoritat seuraavan toimenpiteen, päädyt aina numeroon 4 (ainakin englannin kielessä):

1. Aloita mielivaltaisesta kokonaisluvusta
2. Kirjoita kokonaisluku sanoiksi
3. Laskekaa numeron sanamuodossa olevien kirjainten määrä
4. Palaa vaiheeseen (2) vaiheen (3) tuloksella ja jatka, kunnes saavutat luvun 4

Aloitetaan esimerkiksi luvusta 10:

• 10 kirjoitettuna on ”kymmenen”, jossa on 3 kirjainta
• 3 kirjoitettuna on ”kolme”, jossa on 5 kirjainta
• 5 kirjoitettuna on ”viisi”, jossa on 4 kirjainta
• 4 kirjoitettuna on ”neljä”, jossa on 4 kirjainta
  …

Jos jatkat tämän prosessin toistamista, päädyt aina numeroon 4.

4 on ”kosminen”, koska se on ainoa luku, jolla on sama määrä kirjaimia kuin sen numeroarvolla.

Päätodistus

Aluksi osoitetaan, että tämä toimii kaikilla positiivisilla luvuilla:

Perustapaus: 1<=n<=4

Jokainen näistä luvuista johtaa takaisin numeroon 4:

• 1 -> 3 -> 5 -> 4
• 2 -> 3 -> 5 -> 4
• 3 -> 5 -> 4
• 4 -> 4 -> …

Induktiivinen askel:

Oletetaan, että n>4 ja kaikkien 0<i<n kohdalla i johtaa takaisin 4:ään. Tarkastellaan n+1.
Kaikkien n>4 kohdalla kyseisen luvun sanamuodossa olevien kirjainten lukumäärä on pienempi kuin luvun numeroarvo. n+1 johtaa siis pienempään (positiiviseen) lukuun, ja induktiolla sellaiseen, joka myös johtaa takaisin numeroon 4.
QED

Yksinkertaisemmin sanottuna jokainen iteraatio pääsee lähemmäs ja lähemmäs lukua 4 (kutistamalla lukua, josta iteraatio alkoi). Luvulla ei voi olla negatiivinen määrä kirjaimia (eikä nolla kirjainta), joten tämä tarkoittaa, että prosessi tuottaa yhä pienempiä positiivisia kokonaislukuja, kunnes se lopulta tuottaa joko 1, 2, 3 tai 4, jotka kaikki johtavat takaisin 4:ään, kuten edellä on esitetty.

Muut erikoistapaukset:

• 0 -> 4
• negatiiviset luvut -> jokin positiivinen luku -> … (kuten edellä on esitetty) -> 4

Lemma: Kirjainluku < lukuarvo

(for n > 4)

Kirjainluku vs. Numeerinen arvo

Kirjainluku kasvaa huomattavasti joka kerta, kun saavutetaan uusi desimaalipaikka, koska numeron sanamuotoon on lisättävä ylimääräinen ”sata”, ”tuhat” jne. Tämä lisäys on enintään kaksikymmentä kirjainta jokaista saavutettua 10:n potenssia kohti. Kirjainten määrä kasvaa siis suunnilleen logaritmisesti lukujen lukuarvoon nähden ja on siten aina pienempi kuin niiden lukuarvo.

Tulokset

Seuraavat kaaviot osoittavat tuloksen, joka saadaan, kun edellä mainittu prosessi suoritetaan kerran kutakin lukua kohti luvuista 0-100 ja 0-10 000 kohti. Kuten näet, kun numerot kasvavat suuremmiksi, kirjainten määrä niiden tavutetuissa versioissa kasvaa hyvin hitaasti, mikä lisää luottamusta ajatukselle, että jokainen numero palaa lopulta takaisin neljään (kuten edellä on selitetty).
(klikkaa alla olevia kaavioita saadaksesi interaktiiviset versiot)