Kvadraattiset yhtälöt

Syötteen uudelleenmuotoilu :

Syötteeseen tehtyjen muutosten ei pitäisi vaikuttaa ratkaisuun:
(1): ”x2” korvattiin sanalla ”x^2”.

Vaihe vaiheelta ratkaisu :

Yritetään kertoa jakamalla keskimmäinen termi

1.1 Faktorointi x2-2x-40
Ensimmäinen termi on, x2 sen kerroin on 1 .
Keskimmäinen termi on, -2x sen kerroin on -2 .
Viimeinen termi, ”vakio”, on -40
Vaihe 1 : Kerrotaan ensimmäisen termin kerroin vakiolla 1 – -40 = -40
Vaihe 2 : Etsitään kaksi -40:n tekijää, joiden summa on yhtä suuri kuin keskimmäisen termin kerroin eli -2 .

Havainto : Kahta tällaista tekijää ei löydy !!!
Johtopäätös : Trinomia ei voida faktoroida

Yhtälö vaiheen 1 lopussa :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Vaihe 2 :

Parabola, kärkipisteen löytäminen :

2.1 Löydä kärkipiste yhtälölle y = x2-2x-40
Parabolalla on korkein tai matalin piste, jota kutsutaan kärkipisteeksi . Meidän paraabelimme aukeaa ja vastaavasti sillä on alin piste (AKA absoluuttinen minimi) . Tiedämme tämän jo ennen y:n piirtämistä, koska ensimmäisen termin kerroin 1 on positiivinen (suurempi kuin nolla).
Kullakin paraabelilla on pystysuora symmetriaviiva, joka kulkee sen kärkipisteen kautta. Tämän symmetrian vuoksi symmetriaviiva kulkee esimerkiksi paraabelin kahden x -keskipisteen (juuret tai ratkaisut) keskikohdan kautta. Toisin sanoen, jos paraabelilla on todellakin kaksi todellista ratkaisua.
Parabeleilla voidaan mallintaa monia tosielämän tilanteita, kuten ylöspäin heitetyn esineen korkeutta maanpinnasta jonkin ajan kuluttua. Parabelin kärki voi antaa meille tietoa, kuten maksimikorkeuden, jonka ylöspäin heitetty esine voi saavuttaa. Tästä syystä haluamme löytää kärkipisteen koordinaatit.
Jollekin paraabelille,Ax2+Bx+C,kärkipisteen x -koordinaatti on -B/(2A) . Meidän tapauksessamme x -koordinaatti on 1.0000
Parabolan kaavaan 1.0000 x:lle voimme laskea y -koordinaatin :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
tai y = -41.000

Paraboli, kuvaajan kärjen ja X-sisäkulmien kuvaaminen :

Juuripiirros : y = x2-2x-40
Symmetria-akseli (katkoviivoitettu) {x}={ 1.00}
Piste {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Keskipisteet (juuret) :
Juuri 1 kohdassa {x,y} = {-5.40, 0.00}
Juuri 2 kohdassa {x,y} = { 7.40, 0.00}

Kvadrattisen yhtälön ratkaiseminen täydentämällä neliö

2.2 Ratkaisu x2-2x-40 = 0 täydentämällä neliö .
Lisää 40 yhtälön molempiin puoliin :
x2-2x = 40
Nyt se fiksu osuus: Otetaan x:n kerroin , joka on 2 , jaetaan kahdella, jolloin saadaan 1 , ja lopuksi neliö, jolloin saadaan 1
Lisätään 1 yhtälön molemmille puolille :
Oikealla puolella on :
40 + 1 tai, (40/1)+(1/1)
Kahden murtoluvun yhteisenä nimittäjänä on 1 Lisäämällä (40/1)+(1/1) saadaan 41/1
Lisäämällä molemmille puolille saamme lopulta :
:
x2-2x+1 = 41
Lisäämällä 1 on vasemmanpuoleinen puoli täydennetty täydelliseksi neliöksi :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Jutut, jotka ovat yhtä suuria kuin sama asia, ovat myös yhtä suuria keskenään. Koska
x2-2x+1 = 41 ja
x2-2x+1 = (x-1)2
tällöin transitiolain mukaan
(x-1)2 = 41
Kutsumme tätä yhtälöä yhtälöksi. #2.2.1
Neliöjuuriperiaate sanoo, että kun kaksi asiaa on yhtä suuri, niiden neliöjuuret ovat yhtä suuria.
Huomaa, että
(x-1)2:n neliöjuuri on
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Soveltamalla neliöjuuriperiaatetta Yhtälöön. #2.2.1 saamme:
x-1 = √ 41
Lisäämällä 1 molempiin puoliin saadaan:
x = 1 + √ 41
Koska neliöjuurella on kaksi arvoa, joista toinen on positiivinen ja toinen negatiivinen
x2 – 2x – 40 = 0
on kaksi ratkaisua:
x = 1 + √ 41
tai
x = 1 – √ 41

Ratkaise kvadraattinen yhtälö kvadraattikaavalla

2. Valitse kvadraattinen yhtälö.3 Ratkaistaan x2-2x-40 = 0 kvadraattikaavalla .
Kvadraattisen kaavan x mukaan Ax2+Bx+C = 0 , jossa A, B ja C ovat lukuja, joita usein kutsutaan kertoimiksi, ratkaisu on :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
Tapauksessamme A = 1
B = -2
C = -40
Seuraavasti B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Kvadraattikaavan soveltaminen :
2 ± √ 164
x = —–
2
Voidaanko √ 164 yksinkertaistaa ?
Kyllä! 164:n alkutekijäkerroin on
2-2-41
Jott voimme poistaa jotain radikaalin alta, täytyy olla 2 tapausta (koska otamme neliön eli toisen juuren).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , pyöristettynä neljään desimaalilukuun, on 6.4031
Selvitämme siis nyt:
x = ( 2 ± 2 – 6.403 ) / 2
Kaksi reaalista ratkaisua:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
tai:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Kaksi ratkaisua löytyi :