De a priori waarschijnlijkheid heeft een belangrijke toepassing in de statistische mechanica. De klassieke versie wordt gedefinieerd als de verhouding van het aantal elementaire gebeurtenissen (b.v. het aantal keren dat een dobbelsteen wordt geworpen) tot het totale aantal gebeurtenissen – en deze worden zuiver deductief beschouwd, d.w.z. zonder dat er wordt geëxperimenteerd. In het geval van de dobbelsteen, als we ernaar kijken op de tafel zonder te gooien, wordt deductief beredeneerd dat elke elementaire gebeurtenis dezelfde waarschijnlijkheid heeft – dus de waarschijnlijkheid van elke uitkomst van een denkbeeldige worp met de (volmaakte) dobbelsteen of eenvoudigweg door het aantal zijvlakken te tellen is 1/6. Elk gezicht van de dobbelsteen verschijnt met gelijke waarschijnlijkheid – de waarschijnlijkheid is een maat die voor elke elementaire gebeurtenis is gedefinieerd. Het resultaat is anders wanneer men de dobbelsteen twintig keer gooit en vraagt hoe vaak (van de 20) het getal 6 op het bovenste zijvlak verschijnt. In dit geval speelt de tijd een rol en hebben wij een ander soort waarschijnlijkheid afhankelijk van de tijd of van het aantal keren dat de dobbelsteen wordt geworpen. Aan de andere kant is de a priori kans onafhankelijk van de tijd – u kunt naar de dobbelsteen op tafel kijken zolang u wilt zonder hem aan te raken en u leidt daaruit af dat de kans dat het getal 6 op het bovenste vlak verschijnt 1/6 is.
In de statistische mechanica, b.v. die van een gas in een eindig volume V {\displaystyle V}
, zowel de ruimtelijke coördinaten q i {\displaystyle q_{i}}
en de impulscoördinaten p i {\displaystyle p_{i}}
van de afzonderlijke gaselementen (atomen of moleculen) zijn eindig in de faseruimte die door deze coördinaten wordt opgespannen. Naar analogie van het geval van de dobbelsteen is de a priori waarschijnlijkheid hier (in het geval van een continuüm) evenredig met het volume-element van de faseruimte Δ q Δ p {\displaystyle \Delta q\Delta p}
gedeeld door h {\displaystyle h}
, en is het aantal staande golven (d.w.z. toestanden) daarin, waarbij Δ q {\displaystyle \Delta q}
het bereik is van de variabele q {{\displaystyle q}
en Δ p {\displaystyle \Delta p}
is het bereik van de variabele p {{\displaystyle p}
(hier voor de eenvoud in één dimensie beschouwd). In één dimensie (lengte L {\displaystyle L}
) is dit getal of statistisch gewicht of a priori weging L Δ p / h {\displaystyle L}
. In de gebruikelijke 3 dimensies (volume V {\displaystyle V}
) kan het bijbehorende getal worden berekend als V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}\Delta p/h^{3}}
. Om deze grootheid te begrijpen als een aantal toestanden in de kwantummechanica, moet men bedenken dat in de kwantummechanica elk deeltje geassocieerd is met een materiegolf die de oplossing is van een Schrödingervergelijking. In het geval van vrije deeltjes (met energie ϵ = p 2 / 2 m {\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}
) zoals die van een gas in een doos met volume V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}}
zo’n materiegolf is expliciet ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\displaystyle \psi \propto \sin(l π x/L)\sin(m π y/L)\sin(n π z/L)}
,
waar l , m , n {\displaystyle l,m,n}
gehele getallen zijn. Het aantal verschillende ( l , m , n ) {Displaystyle (l,m,n)}
waarden en dus toestanden in het gebied tussen p , p + d p , p 2 = p 2 , {\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}
blijkt dan de bovenstaande uitdrukking V 4 π p 2 d p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}
door het gebied te beschouwen dat door deze punten wordt bestreken. Bovendien is de onzekerheidsrelatie, die in 1 ruimtelijke dimensie Δ q Δ p ≥ h {Displaystyle \Delta q\Delta p h}
,
deze toestanden zijn niet te onderscheiden (d.w.z. dat deze toestanden geen labels dragen). Een belangrijk gevolg is een resultaat dat bekend staat als de stelling van Liouville, namelijk de tijdsonafhankelijkheid van dit faseruimte volume-element en dus van de a priori waarschijnlijkheid. Een tijdsafhankelijkheid van deze grootheid zou bekende informatie over de dynamica van het systeem impliceren, en zou dus geen a priori waarschijnlijkheid zijn. Het gebied
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , {Displaystyle \Omega :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\int \Delta q\Delta p=const.,}
wanneer gedifferentieerd met betrekking tot tijd t {\displaystyle t}
levert nul op (met behulp van de vergelijkingen van Hamilton): Het volume op tijdstip t {\displaystyle t}
is hetzelfde als op tijdstip nul. Men beschrijft dit ook als behoud van informatie.
In de volledige quantumtheorie heeft men een analoge behoudswet. In dit geval wordt het gebied van de faseruimte vervangen door een deelruimte van de toestandsruimte, uitgedrukt in termen van een projectieoperator P {\displaystyle P}
, en in plaats van de waarschijnlijkheid in de faseruimte heeft men de waarschijnlijkheidsdichtheid Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . , {\displaystyle \Sigma :={\frac {P}{TrP}},\;\;\;N=TrP=const.,}
waar N {\displaystyle N}
de dimensionaliteit van de deelruimte is. De behoudswet wordt in dit geval uitgedrukt door de unitariteit van de S-matrix. In beide gevallen gaan de overwegingen uit van een gesloten geïsoleerd systeem. Dit gesloten geïsoleerde systeem is een systeem met (1) een vaste energie E {Displaystyle E}
en (2) een vast aantal deeltjes N {{\displaystyle N}
in (c) een evenwichtstoestand. Als men een groot aantal replica’s van dit systeem beschouwt, verkrijgt men wat men noemt een “microcanoniek ensemble´´. Het is voor dit systeem dat men in de quantum statistiek het “fundamentele postulaat van gelijke a priori waarschijnlijkheden van een geïsoleerd systeem´´ postuleert. Dit zegt dat het geïsoleerde systeem in evenwicht elk van zijn toegankelijke toestanden met dezelfde waarschijnlijkheid inneemt. Dit fundamentele postulaat stelt ons dus in staat de a priori waarschijnlijkheid gelijk te stellen aan de ontaarding van een systeem, d.w.z. aan het aantal verschillende toestanden met dezelfde energie.