Darby werd geboren in Coalbrookdale, Shropshire als zoon van Abraham en Mary (née Sergeant).
Hij trad in de voetsporen van zijn vader in het gieterijbedrijf Darby in Coalbrookdale, dat gietijzeren kookpotten, ketels en andere goederen produceerde. De Coalbrookdale Company speelde ook een belangrijke rol bij het gebruik van ijzer ter vervanging van het duurdere messing voor de cilinders van de stoommachines van Thomas Newcomen.
Hij en zijn partners waren verantwoordelijk voor een zeer belangrijke innovatie bij de invoering van het gebruik van cokesgietijzer als grondstof voor de edelsmederijen. Dit vormde een belangrijk deel van de productie van de hoogovens Horsehay en Ketley, die zij aan het eind van de jaren 1750 bouwden. Het succesvolle gebruik door zijn vader van cokesijzer als grondstof voor gieterijen en zijn eigen succes bij het gebruik ervan als grondstof voor smederijen waren twee van de stappen op weg naar de industriële revolutie voor de ijzerindustrie, maar de uiteindelijke doorbraak die de grote expansie van de ijzerproductie mogelijk maakte die de industriële revolutie voor de ijzerindustrie vormde, kwam pas later.
Hij stierf op 51-jarige leeftijd. Hij was twee keer getrouwd: de eerste keer met Margaret Smith (gestorven in 1740), met wie hij drie kinderen kreeg, waaronder Hannah die trouwde met Richard Reynolds, en de tweede keer met de quakerpredikant Abiah Maude, met wie hij nog eens dertien kinderen kreeg, hoewel er slechts vier, waaronder Abraham Darby III, overleefden.