Vele gebieden van de wiskunde begonnen met de studie van problemen in de echte wereld, voordat de onderliggende regels en concepten werden geïdentificeerd en gedefinieerd als abstracte structuren. Zo vindt de meetkunde haar oorsprong in de berekening van afstanden en oppervlakten in de echte wereld; de algebra begon met methoden om problemen in de rekenkunde op te lossen.
Bepaling is een voortdurend proces in de wiskunde en de historische ontwikkeling van veel wiskundige onderwerpen vertoont een progressie van het concrete naar het abstracte. De eerste stappen in de abstractie van meetkunde werden bijvoorbeeld historisch gezet door de oude Grieken, met Euclides’ Elementen als de vroegste overgebleven documentatie van de axioma’s van vlakke meetkunde – hoewel Proclus vertelt over een eerdere axiomatisering door Hippocrates van Chios. In de 17e eeuw introduceerde Descartes de Cartesiaanse coördinaten die de ontwikkeling van de analytische meetkunde mogelijk maakten. Verdere stappen in abstractie werden gezet door Lobachevsky, Bolyai, Riemann en Gauss, die de concepten van de meetkunde veralgemeend hebben om niet-Euclidische meetkunde te ontwikkelen. Later in de 19e eeuw veralgemeenden wiskundigen de meetkunde nog verder en ontwikkelden gebieden als meetkunde in n dimensies, projectieve meetkunde, affiene meetkunde en eindige meetkunde. Uiteindelijk identificeerde Felix Klein in zijn “Erlangen-programma” het onderliggende thema van al deze geometrieën, door elk ervan te definiëren als de studie van eigenschappen die invariant zijn onder een gegeven groep symmetrieën. Dit niveau van abstractie onthulde verbanden tussen geometrie en abstracte algebra.
In de wiskunde kan abstractie op de volgende manieren voordelig zijn:
- Het onthult diepe verbanden tussen verschillende gebieden van de wiskunde.
- Bekende resultaten in één gebied kunnen vermoedens suggereren in een ander verwant gebied.
- Technieken en methoden uit het ene gebied kunnen worden toegepast om resultaten in andere verwante gebieden te bewijzen.
- Patronen van één wiskundig object kunnen worden gegeneraliseerd naar andere soortgelijke objecten in dezelfde klasse.
Aan de andere kant kan abstractie ook nadelig zijn in die zin dat zeer abstracte concepten moeilijk te leren kunnen zijn. Een zekere mate van wiskundige rijpheid en ervaring kan nodig zijn voor conceptuele assimilatie van abstracties. Als zodanig is een van de onderliggende principes van de Montessori-benadering van het wiskundeonderwijs om kinderen aan te moedigen van concrete voorbeelden naar abstract denken te gaan.
Bertrand Russell schrijft in The Scientific Outlook (1931): “Gewone taal is totaal ongeschikt om uit te drukken wat de natuurkunde werkelijk beweert, omdat de woorden van het dagelijks leven niet abstract genoeg zijn. Alleen wiskunde en mathematische logica kunnen zo weinig zeggen als de natuurkundige wil zeggen.”