Quadratische vergelijkingen

Herformatteren van de invoer :

Veranderingen aan uw invoer zouden de oplossing niet mogen beïnvloeden:
(1): “x2” werd vervangen door “x^2”.

Stap voor stap oplossing:

Proberen te ontbinden door de middelste term te splitsen

1.1 Factoriseren x2-2x-40
De eerste term is, x2 zijn coëfficiënt is 1 .
De middelste term is, -2x zijn coëfficiënt is -2 .
De laatste term, “de constante”, is -40
Stap-1 : Vermenigvuldig de coëfficiënt van de eerste term met de constante 1 – -40 = -40
Stap-2 : Vind twee factoren van -40 waarvan de som gelijk is aan de coëfficiënt van de middelste term, die -2 is .

Observatie : Er kunnen geen twee van deze factoren worden gevonden !!!
Conclusie : Trinomiaal kan niet in factoren worden ontbonden

Equation at the end of step 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Step 2 :

Parabool, het vinden van het hoekpunt :

2.1 Vind het hoekpunt van y = x2-2x-40
Parabolen hebben een hoogste of laagste punt dat het hoekpunt wordt genoemd. Onze parabool opent zich en heeft dus een laagste punt (AKA absoluut minimum) . We weten dit zelfs voor we “y” hebben geplot omdat de coëfficiënt van de eerste term, 1 , positief is (groter dan nul).
Elke parabool heeft een verticale symmetrielijn die door zijn hoekpunt gaat. Vanwege deze symmetrie zou de symmetrielijn bijvoorbeeld door het middelpunt van de twee x -uiteinden (wortels of oplossingen) van de parabool gaan. Dat wil zeggen, als de parabool inderdaad twee reële oplossingen heeft.
Parabolen kunnen veel situaties uit het echte leven modelleren, zoals de hoogte boven de grond, van een voorwerp dat omhoog wordt gegooid, na enige tijd. Het hoekpunt van de parabool kan ons informatie verschaffen, zoals de maximale hoogte die dat omhoog geworpen voorwerp kan bereiken. Daarom willen we de coördinaten van het hoekpunt kunnen vinden.
Voor elke parabool,Ax2+Bx+C,is de x -coordinaat van het hoekpunt gegeven door -B/(2A) . In ons geval is de x-coördinaat 1.0000
Inpluggen in de paraboolformule 1.0000 voor x kunnen we de y -coördinaat berekenen :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 40,0
of y = -41,000

Parabool, Grafiek van hoekpunt en X-uiteinden :

Wortelplot voor : y = x2-2x-40
Symmetrieas (gestippeld) {x}={ 1,00}
Vertex op {x,y} = { 1,00,-41,00}
x -Tercepts (wortels) :
Wortel 1 bij {x,y} = {-5,40, 0,00}
Wortel 2 bij {x,y} = {7,40, 0,00}

Vierkwadratische vergelijking oplossen door voltooiing van het vierkant

2.2 x2-2x-40 = 0 oplossen door voltooiing van het vierkant .
Voeg 40 toe aan beide zijden van de vergelijking :
x2-2x = 40
Nu het slimme gedeelte: Neem de coëfficiënt van x , dat is 2 , deel door twee, dat geeft 1 , en kwadratuur het tenslotte tot 1
Voeg 1 toe aan beide zijden van de vergelijking :
Aan de rechterkant hebben we :
40 + 1 of, (40/1)+(1/1)
De gemene deler van de twee breuken is 1 Het optellen van (40/1)+(1/1) geeft 41/1
Opgeteld aan beide zijden krijgen we dus uiteindelijk :
x2-2x+1 = 41
Door 1 toe te voegen is het linkerlid vervolledigd tot een perfect kwadraat :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde, zijn ook gelijk aan elkaar. Omdat
x2-2x+1 = 41 en
x2-2x+1 = (x-1)2
dan is, volgens de wet van de overdraagbaarheid,
(x-1)2 = 41
We zullen deze vergelijking Eq. noemen. #2.2.1
Het vierkantswortelprincipe zegt dat wanneer twee dingen gelijk zijn, hun vierkantswortels gelijk zijn.
Noteer dat de vierkantswortel van
(x-1)2 is
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Nu, toepassing van het vierkantswortelprincipe op Eq. #2.2.1 krijgen we:
x-1 = √ 41
Voeg 1 toe aan beide zijden om te verkrijgen:
x = 1 + √ 41
Omdat een vierkantswortel twee waarden heeft, de ene positief en de andere negatief
x2 – 2x – 40 = 0
heeft twee oplossingen:
x = 1 + √ 41
of
x = 1 – √ 41

Vierkwadratische vergelijking oplossen met de kwadratische formule

2.3 Oplossen van x2-2x-40 = 0 met de Kwadratische Formule .
Volgens de Kwadratische Formule, x , wordt de oplossing voor Ax2+Bx+C = 0 , waarbij A, B en C getallen zijn, die vaak coëfficiënten worden genoemd, gegeven door :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
In ons geval is A = 1
B = -2
C = -40
Volgens B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Toepassing van de kwadratische formule :
2 ± √ 164
x = —–
2
Kan √ 164 vereenvoudigd worden ?
Ja! De priemfactorisatie van 164 is
2-2-41
Om iets onder de radicaal vandaan te kunnen halen, moeten er 2 instanties van zijn (want we nemen een kwadraat d.w.z. tweede wortel).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , afgerond op 4 decimalen, is 6.4031
Dus nu kijken we naar:
x = ( 2 ± 2 – 6,403 ) / 2
Twee reële oplossingen:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
of:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Twee oplossingen werden gevonden :