De Fouriertransformaties van functies met reële waarde zijn symmetrisch rond de 0 Hz-as. Na bemonstering is alleen nog een periodieke sommatie van de Fouriertransformatie (discrete-time Fouriertransformatie genoemd) beschikbaar. De afzonderlijke frequentieverschoven kopieën van de oorspronkelijke transformatie worden aliassen genoemd. Het frequentieverschil tussen aangrenzende aliassen is de bemonsteringsfrequentie, aangeduid met fs. Wanneer de aliassen elkaar (spectraal) uitsluiten, kunnen de oorspronkelijke transformatie en de oorspronkelijke continue functie, of desgewenst een frequentieverschoven versie daarvan, uit de steekproeven worden teruggevonden. De eerste en derde grafiek van figuur 1 tonen een basisbandspectrum vóór en na bemonstering met een snelheid die de aliassen volledig scheidt.
De tweede grafiek van figuur 1 toont het frequentieprofiel van een bandpassfunctie die de band (A, A+B) bezet (blauw gearceerd) en zijn spiegelbeeld (beige gearceerd). Voorwaarde voor een niet-destructieve bemonsteringsfrequentie is dat de aliassen van beide banden elkaar niet overlappen wanneer ze worden verschoven met alle gehele veelvouden van fs. De vierde grafiek toont het spectrale resultaat van bemonstering met dezelfde snelheid als de basisbandfunctie. De snelheid werd gekozen door de laagste snelheid te vinden die een geheel deel-veelvoud van A is en ook voldoet aan het Nyquist-criterium voor de basisband: fs > 2B. Bijgevolg is de banddoorlaatfunctie effectief omgezet in basisband. Alle andere snelheden die overlapping vermijden worden gegeven door deze meer algemene criteria, waarbij A en A+B worden vervangen door respectievelijk fL en fH:
2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {\displaystyle {\frac {2f_{H}}{n}}}\leq f_{s}}\leq {\frac {2f_{L}}{n-1}}}
, voor elk geheel getal n dat voldoet aan: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {\displaystyle 1 \leq nleq \left {\frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}}
De hoogste n waarvoor aan de voorwaarde wordt voldaan, leidt tot de laagst mogelijke bemonsteringsfrequenties.
Belangrijke signalen van dit type zijn bijvoorbeeld het middenfrequente (IF) signaal van een radio, het radiofrequente (RF) signaal, en de afzonderlijke kanalen van een filterbank.
Als n > 1, dan resulteren de voorwaarden in wat soms wordt aangeduid als undersampling, bandpass sampling, of het gebruik van een bemonsteringsfrequentie lager dan de Nyquist rate (2fH). Voor het geval van een gegeven bemonsteringsfrequentie worden hieronder eenvoudiger formules gegeven voor de beperkingen van de spectrale band van het signaal.
Voorbeeld: Neem FM-radio om het idee van undersampling te illustreren. In de VS werkt FM-radio op de frequentieband van fL = 88 MHz tot fH = 108 MHz. De bandbreedte is W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {\displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108\ \mathrm {MHz} -88 mathrm {MHz} = 20 mathrm {MHz} }
Aan de bemonsteringsvoorwaarden wordt voldaan voor 1 ≤ n ≤ ⌊ 5.4 ⌋ = ⌊ 108 M H z 20 M H z ⌋ {\leq 1 \leq n\leq \lfloor 5.4 \lfloor =\lfloor {108 \mathrm {MHz}} \over 20 \mathrm {MHz} {\1}
en dit is een scenario van undersampling. In dit geval past het signaalspectrum tussen 2 en 2,5 maal de bemonsteringsfrequentie (hoger dan 86,4-88 MHz maar lager dan 108-110 MHz). Een lagere waarde van n leidt ook tot een bruikbare bemonsteringsfrequentie. Bij n = 4 past het spectrum van de FM-band bijvoorbeeld gemakkelijk tussen 1,5 en 2,0 maal de bemonsteringsfrequentie, voor een bemonsteringsfrequentie in de buurt van 56 MHz (veelvouden van de Nyquist-frequentie zijn 28, 56, 84, 112, enz.). Zie de illustraties rechts. Bij undersampling van een reëel signaal moet de bemonsteringsschakeling snel genoeg zijn om de hoogste signaalfrequentie van belang op te vangen. Theoretisch zou elk monster moeten worden genomen gedurende een oneindig kort interval, maar dit is praktisch niet haalbaar. In plaats daarvan moet het signaal worden bemonsterd met een interval dat kort genoeg is om de momentane waarde van het signaal met de hoogste frequentie weer te geven. Dit betekent dat in het voorbeeld van de FM-radio hierboven, de bemonsteringskring een signaal met een frequentie van 108 MHz moet kunnen opvangen, en niet 43,2 MHz. De bemonsteringsfrequentie mag dus maar een klein beetje groter zijn dan 43,2 MHz, maar de ingangsbandbreedte van het systeem moet ten minste 108 MHz zijn. Evenzo moet de nauwkeurigheid van de bemonsteringstijd, of apertuuronzekerheid van de bemonsteraar, vaak de analoog-digitaal omzetter, geschikt zijn voor de frequenties die worden bemonsterd 108 MHz, niet de lagere bemonsteringsfrequentie. Als de bemonsteringstheorema zo wordt geïnterpreteerd dat tweemaal de hoogste frequentie vereist is, dan zou de vereiste bemonsteringsfrequentie groter worden verondersteld dan de Nyquist-rate 216 MHz. Hoewel dit voldoet aan de laatste voorwaarde voor de bemonsteringsfrequentie, is er sprake van ver oversampling. Merk op dat als een band wordt bemonsterd met n > 1, dan is een banddoorlaatfilter nodig voor het anti-aliasing filter, in plaats van een laagdoorlaatfilter.
Zoals we hebben gezien, is de normale basisbandvoorwaarde voor reversibele bemonstering dat X(f) = 0 buiten het interval: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {\displaystyle \scriptstyle \left(-{\frac {1}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {1}{2}f_{\mathrm {s}}}rechts),}
en de reconstructieve interpolatiefunctie, oftewel de impulsrespons van het laagdoorlaatfilter, is sinc ( t / T ) . {Weergavestijl: scriptstijl: operatienaam \links(t/rechts).}
Om met undersampling rekening te houden is de bandpass-voorwaarde dat X(f) = 0 buiten de unie van open positieve en negatieve frequentiebanden
( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {Displaystyle \left(-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s} },-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s}}}-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s}}}-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s}}}}-{\frac {n-1}{2}}f_{\mathrm {s}}}-{\frac {n}{2}}f_{\mathrm {s}}}-{\frac {n-1}{2}}}}-}]}.
voor sommige positieve gehele n {\displaystyle n,}
. die de normale basisbandvoorwaarde omvat als geval n = 1 (behalve dat waar de intervallen bij 0 frequentie samenkomen, zij gesloten kunnen zijn).
De bijbehorende interpolatiefunctie is het banddoorlaatfilter gegeven door dit verschil van laagdoorlaatimpulsresponsen:
n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T T ) {\displaystyle n\operatorname {sinc} \links({\frac {nt}{T}}rechts)-(n-1)-operatornaam {sinc} \left({\frac {(n-1)t}{T}}}right)}
.
Anderzijds is reconstructie gewoonlijk niet het doel met bemonsterde IF- of RF-signalen. In plaats daarvan kan de monsterreeks worden behandeld als gewone monsters van het signaal met een frequentieverschuiving in de buurt van de basisband, en digitale demodulatie kan op die basis plaatsvinden, waarbij de spiegeling van het spectrum wordt herkend als n even is.
Verdere generalisaties van undersampling voor het geval van signalen met meerdere banden zijn mogelijk, en signalen over multidimensionale domeinen (ruimte of ruimte-tijd) en zijn in detail uitgewerkt door Igor Kluvánek.