Wiele dziedzin matematyki rozpoczęło się od badania problemów świata rzeczywistego, zanim podstawowe zasady i pojęcia zostały zidentyfikowane i zdefiniowane jako struktury abstrakcyjne. Na przykład geometria ma swoje korzenie w obliczaniu odległości i obszarów w świecie rzeczywistym; algebra rozpoczęła się od metod rozwiązywania problemów w arytmetyce.
Abstrakcja jest ciągłym procesem w matematyce, a historyczny rozwój wielu tematów matematycznych wykazuje progresję od konkretu do abstrakcji. Na przykład, pierwsze kroki w abstrakcji geometrii zostały historycznie poczynione przez starożytnych Greków, z Elementami Euklidesa będącymi najwcześniejszą zachowaną dokumentacją aksjomatów geometrii płaskiej – chociaż Proklos mówi o wcześniejszej aksjomatyzacji dokonanej przez Hipokratesa z Chios. W XVII wieku Kartezjusz wprowadził współrzędne kartezjańskie, które umożliwiły rozwój geometrii analitycznej. Dalsze kroki w abstrakcji zostały podjęte przez Lobachevsky’ego, Bolyai, Riemanna i Gaussa, którzy uogólnili pojęcia geometrii, aby rozwinąć geometrie nieeuklidesowe. W XIX wieku matematycy jeszcze bardziej uogólnili geometrię, rozwijając takie dziedziny jak geometria w n wymiarach, geometria rzutowa, geometria afiniczna i geometria skończona. W końcu „program Erlangen” Felixa Kleina zidentyfikował podstawowy temat wszystkich tych geometrii, definiując każdą z nich jako badanie własności niezmienniczych dla danej grupy symetrii. Ten poziom abstrakcji ujawnił powiązania między geometrią a algebrą abstrakcyjną.
W matematyce abstrakcja może być korzystna w następujący sposób:
- Ujawnia głębokie powiązania między różnymi dziedzinami matematyki.
- Znane wyniki w jednej dziedzinie mogą sugerować przypuszczenia w innej, pokrewnej dziedzinie.
- Techniki i metody z jednego obszaru mogą być zastosowane do udowodnienia wyników w innych powiązanych obszarach.
- Wzorce z jednego obiektu matematycznego mogą być uogólnione na inne podobne obiekty w tej samej klasie.
Z drugiej strony, abstrakcja może być również niekorzystna w tym, że wysoce abstrakcyjne pojęcia mogą być trudne do nauczenia. Pewien stopień matematycznej dojrzałości i doświadczenia może być potrzebny do pojęciowego przyswojenia abstrakcji. W związku z tym, jedną z podstawowych zasad podejścia Montessori do edukacji matematycznej jest zachęcanie dzieci do przechodzenia od konkretnych przykładów do myślenia abstrakcyjnego.
Bertrand Russell, w The Scientific Outlook (1931), pisze, że „Zwykły język zupełnie nie nadaje się do wyrażenia tego, co naprawdę twierdzi fizyka, ponieważ słowa codziennego życia nie są wystarczająco abstrakcyjne. Tylko matematyka i logika matematyczna mogą powiedzieć tak mało, jak fizyk chce powiedzieć.”
.