Prawdopodobieństwo a priori ma ważne zastosowanie w mechanice statystycznej. W wersji klasycznej definiuje się je jako stosunek liczby zdarzeń elementarnych (np. liczby rzutów kością) do całkowitej liczby zdarzeń – i to rozpatrywanych czysto dedukcyjnie, tzn. bez żadnych eksperymentów. W przypadku kostki, jeśli patrzymy na nią na stole bez rzucania nią, każde elementarne zdarzenie jest rozumowane dedukcyjnie jako mające takie samo prawdopodobieństwo – stąd prawdopodobieństwo każdego wyniku wyimaginowanego rzutu (doskonałą) kostką lub po prostu policzenia ilości fasetek wynosi 1/6. Każda tarcza pojawia się z równym prawdopodobieństwem – prawdopodobieństwo jest miarą zdefiniowaną dla każdego elementarnego zdarzenia. Inaczej wygląda sytuacja, gdy rzucamy kością dwadzieścia razy i pytamy, ile razy (z 20) na górnej tarczy pojawi się liczba 6. W tym przypadku czas wchodzi w grę i mamy inny rodzaj prawdopodobieństwa w zależności od czasu lub liczby rzutów kością. Z drugiej strony, prawdopodobieństwo a priori jest niezależne od czasu – możesz patrzeć na kość na stole tak długo, jak chcesz, bez dotykania jej i wywnioskujesz, że prawdopodobieństwo pojawienia się liczby 6 na górnej ściance wynosi 1/6.
W mechanice statystycznej, np. że w przypadku gazu zawartego w skończonej objętości V {przykład V}
, zarówno współrzędne przestrzenne q i {displaystyle q_{i}}
jak i współrzędne pędu p i {displaystyle p_{i}}
poszczególnych elementów gazu (atomów lub molekuł) są skończone w przestrzeni fazowej rozpiętej przez te współrzędne. Analogicznie do przypadku matrycy, prawdopodobieństwo a priori jest tu (w przypadku kontinuum) proporcjonalne do elementu objętości przestrzeni fazowej Δ q Δ p {Delta q Δ p}
podzielonego przez h {{displaystyle h}
, i jest liczbą fal stojących (tj. stanów) w nim zawartych, gdzie Δ q {{displaystyle \Delta q}
jest zakresem zmiennej q {{displaystyle q}
, a Δ p {{displaystyle \Delta p}
jest zakresem zmiennej p {{displaystyle p}
(tu dla uproszczenia rozpatrywanej w jednym wymiarze). W 1 wymiarze (długość L {{displaystyle L}
) ta liczba lub waga statystyczna lub waga a priori wynosi L Δ p / h {{displaystyle L} delta p/h}
. W zwyczajowych 3 wymiarach (objętość V {displaystyle V}
) odpowiadającą jej liczbę można obliczyć jako V 4 π p 2 Δ p / h 3 {displaystyle V4 Δ p^{2} ΔDelta p/h^{3}}
. Aby zrozumieć tę wielkość jako dającą liczbę stanów w mechanice kwantowej (czyli falowej), przypomnijmy, że w mechanice kwantowej każda cząstka jest związana z falą materii, która jest rozwiązaniem równania Schrödingera. W przypadku cząstek swobodnych (o energii ϵ = p 2 / 2 m {{displaystyle epsilon ={bf {p}}^{2}/2m}
) jak w przypadku gazu w pudełku o objętości V = L 3 {displaystyle V=L^{3}}
taka fala materii jest jednoznacznie ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) { {displaystyle ∝ ∝ ∝ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L )
,
gdzie l , m , n {{displaystyle l,m,n}
są liczbami całkowitymi. Liczba różnych ( l , m , n ) {displaystyle (l,m,n)}
wartości, a więc stanów w regionie pomiędzy p , p + d p , p 2 = p 2 , {displaystyle p,p+dp,p^{2}={bf {p}}^{2}}
okazuje się wtedy, że powyższe wyrażenie V 4 π p 2 d p / h 3 {displaystyle V4 p^{2}dp/h^{3}}
poprzez rozważenie obszaru zajmowanego przez te punkty. Co więcej, z uwagi na relację niepewności, która w jednym wymiarze przestrzennym wynosi Δ q Δ p ≥ h {{displaystyle ΔDelta q ΔDelta p Δgeq h}}
,
stany te są nierozróżnialne (tzn. stany te nie noszą etykiet). Ważną konsekwencją jest wynik znany jako twierdzenie Liouville’a, czyli niezależność w czasie tego elementu objętości przestrzeni fazowej, a więc i prawdopodobieństwa a priori. Zależność czasowa tej wielkości implikowałaby znaną informację o dynamice układu, a więc nie byłaby prawdopodobieństwem a priori. Zatem region
Ω := Δ q Δ p ∫ Δ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = k o n s t . , { { {displaystyle \Omega :={frac {{Delta q Δ p}{}{}},\\i0}}
gdy różniczkujemy względem czasu t {\displaystyle t}.
daje zero (z pomocą równań Hamiltona): Objętość w chwili t {{displaystyle t}
jest taka sama jak w chwili zerowej. Można to również opisać jako zachowanie informacji.
W pełnej teorii kwantowej mamy analogiczne prawo zachowania. W tym przypadku region przestrzeni fazowej jest zastąpiony podprzestrzenią przestrzeni stanów wyrażoną w terminach operatora projekcji P {\i0}
, a zamiast prawdopodobieństwa w przestrzeni fazowej mamy gęstość prawdopodobieństwa Σ := P T r P , N = T r P = k o n s t . , { {{displaystyle \Sigma :={{frac {P}{TrP}},\u2004>
gdzie N {{displaystyle N}
jest wymiarowością podprzestrzeni. Prawo zachowania w tym przypadku jest wyrażone przez unitarność macierzy S. W obu przypadkach rozważania zakładają istnienie zamkniętego układu izolowanego. Ten zamknięty układ izolowany jest układem o (1) stałej energii E {przykład E}
i (2) stałą liczbą cząstek N {displaystyle N}
w (c) stanie równowagi. Jeśli rozważymy ogromną liczbę replik tego układu, otrzymamy coś, co nazywamy „zespołem mikrokanonicznym„. To właśnie dla tego układu postuluje się w statystyce kwantowej „podstawowy postulat równych prawdopodobieństw a priori układu izolowanego´´. Mówi on, że układ izolowany w równowadze zajmuje każdy ze swoich dostępnych stanów z takim samym prawdopodobieństwem. Ten fundamentalny postulat pozwala nam zatem zrównać prawdopodobieństwo a priori ze stopniem degeneracji układu, czyli z liczbą różnych stanów o tej samej energii.