Równania kwadratowe

Reformatowanie danych wejściowych :

Zmiany dokonane w danych wejściowych nie powinny mieć wpływu na rozwiązanie:
(1): „x2” zostało zastąpione przez „x^2”.

Rozwiązanie krok po kroku :

Próba faktoryzacji przez podział środkowego członu

1.1 Faktoryzacja x2-2x-40
Pierwszym członem jest, x2 jego współczynnik wynosi 1 .
Środkowym członem jest, -2x jego współczynnik wynosi -2 .
Ostatni człon, „stała”, wynosi -40
Krok-1 : Pomnóż współczynnik pierwszego członu przez stałą 1 – -40 = -40
Krok-2 : Znajdź dwa czynniki -40, których suma jest równa współczynnikowi środkowego członu, który wynosi -2 .

Obserwacja : Nie można znaleźć dwóch takich czynników !!!
Wniosek : Trinomial nie może być faktoryzowany

Equation at the end of step 1 :

 x2 - 2x - 40 = 0 

Step 2 :

Parabola, Finding the Vertex :

2.1 Find the Vertex of y = x2-2x-40
Parabole mają najwyższy lub najniższy punkt zwany wierzchołkiem . Nasza parabola otwiera się i odpowiednio ma najniższy punkt (AKA absolutne minimum). Wiemy to jeszcze przed wykreśleniem „y”, ponieważ współczynnik pierwszego członu, 1, jest dodatni (większy od zera).
Każda parabola ma pionową linię symetrii, która przechodzi przez jej wierzchołek. Z powodu tej symetrii, linia symetrii będzie, na przykład, przechodzić przez punkt środkowy dwóch x -intercepts (korzenie lub rozwiązania) paraboli. To jest, jeśli parabola ma rzeczywiście dwa rzeczywiste rozwiązania.
Parabole mogą modelować wiele rzeczywistych sytuacji życiowych, takich jak wysokość nad ziemią, obiektu rzuconego w górę, po pewnym okresie czasu. Wierzchołek paraboli może dostarczyć nam informacji, takich jak maksymalna wysokość, jaką może osiągnąć obiekt wyrzucony w górę. Z tego powodu chcemy być w stanie znaleźć współrzędne wierzchołka.
Dla dowolnej paraboli,Ax2+Bx+C,współrzędna x wierzchołka jest dana przez -B/(2A) . W naszym przypadku współrzędna x wynosi 1.0000
Podłączając do wzoru paraboli 1.0000 dla x możemy obliczyć współrzędną y :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 40.0
lub y = -41.000

Parabola, Wykresy Wierzchołków i Punktów X :

Wykres wyjściowy dla : y = x2-2x-40
Oś symetrii (przerywana) {x}={ 1.00}
Wertex at {x,y} = { 1.00,-41.00}
x -Intercepts (Roots) :
Root 1 at {x,y} = {-5.40, 0.00}
Korzeń 2 w {x,y} = { 7.40, 0.00}

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez uzupełnianie kwadratu

2.2 Rozwiązywanie x2-2x-40 = 0 przez uzupełnianie kwadratu .
Dodaj 40 do obu stron równania :
x2-2x = 40
Teraz sprytny fragment: Weź współczynnik x , który wynosi 2 , podziel przez dwa, co daje 1 , a na koniec podnieś go do kwadratu, co daje 1
Dodaj 1 do obu stron równania :
Po prawej stronie mamy :
40 + 1 lub, (40/1)+(1/1)
Wspólny mianownik dwóch ułamków to 1 Dodanie (40/1)+(1/1) daje 41/1
Więc dodając do obu stron otrzymujemy :
x2-2x+1 = 41
Dodając 1 uzupełniliśmy lewą stronę do kwadratu doskonałego :
x2-2x+1 =
(x-1) – (x-1) =
(x-1)2
Rzeczy, które są równe tej samej rzeczy są również równe sobie. Ponieważ
x2-2x+1 = 41 i
x2-2x+1 = (x-1)2
to, zgodnie z prawem przechodniości,
(x-1)2 = 41
Równanie to nazywamy równaniem. #2.2.1
Zasada pierwiastka kwadratowego mówi, że jeśli dwie rzeczy są równe, to ich pierwiastki kwadratowe są równe.
Zauważmy, że pierwiastek kwadratowy z
(x-1)2 to
(x-1)2/2 =
(x-1)1 =
x-1
Teraz, stosując zasadę pierwiastka kwadratowego do równania. #2.2.1 otrzymujemy:
x-1 = √ 41
Dodaj 1 do obu stron, aby otrzymać:
x = 1 + √ 41
Ponieważ pierwiastek kwadratowy ma dwie wartości, jedną dodatnią, a drugą ujemną
x2 – 2x – 40 = 0
ma dwa rozwiązania:
x = 1 + √ 41
lub
x = 1 – √ 41

Rozwiązywanie równania czworokątnego za pomocą wzoru na czworokąt

2.3 Rozwiązywanie równania x2-2x-40 = 0 za pomocą wzoru na czworokąt .
Zgodnie ze wzorem na czworokąt, x , rozwiązanie dla Ax2+Bx+C = 0 , gdzie A, B i C są liczbami, często nazywanymi współczynnikami, jest dane przez :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
W naszym przypadku A = 1
B = -2
C = -40
Zgodnie z tym B2 – 4AC =
4 – (-160) =
164
Zastosowując wzór na kwadrat :
2 ± √ 164
x = —–
2
Czy można √ 164 uprościć ?
Tak! Podstawową faktoryzacją liczby 164 jest
2-2-41
Aby móc usunąć coś spod pierwiastka, muszą istnieć 2 jego przypadki (bo bierzemy kwadrat, czyli drugi pierwiastek).
√ 164 = √ 2-2-41 =
± 2 – √ 41
√ 41 , w zaokrągleniu do 4 cyfr po przecinku, wynosi 6.4031
Więc teraz patrzymy na:
x = ( 2 ± 2 – 6.403 ) / 2
Dwa rozwiązania rzeczywiste:
x =(2+√164)/2=1+√ 41 = 7.403
lub:
x =(2-√164)/2=1-√ 41 = -5.403

Znaleziono dwa rozwiązania :

.