Undersampling

Przekształcenia Fouriera funkcji rzeczywisto-wartościowych są symetryczne wokół osi 0 Hz. Po próbkowaniu dostępne jest jeszcze tylko okresowe sumowanie transformaty Fouriera (zwane dyskretną transformatą Fouriera). Poszczególne kopie oryginalnej transformaty o przesuniętej częstotliwości nazywane są aliasami. Przesunięcie częstotliwości pomiędzy sąsiednimi aliasami to częstotliwość próbkowania, oznaczana przez fs. Gdy aliasy wzajemnie się wykluczają (spektralnie), oryginalna transformata i oryginalna funkcja ciągła, lub jej wersja z przesunięciem częstotliwości (jeśli jest to pożądane), może być odzyskana z próbek. Pierwszy i trzeci wykres na rysunku 1 przedstawiają widmo pasma podstawowego przed i po próbkowaniu z szybkością, która całkowicie rozdziela aliasy.

Drugi wykres na rysunku 1 przedstawia profil częstotliwościowy funkcji pasmowej zajmującej pasmo (A, A+B) (zacienione na niebiesko) i jej lustrzane odbicie (zacienione na beżowo). Warunkiem nieniszczącej częstotliwości próbkowania jest to, że aliasy obu pasm nie nakładają się na siebie po przesunięciu o wszystkie całkowite wielokrotności fs. Czwarty wykres przedstawia widmowy wynik próbkowania z tą samą szybkością, z jaką próbkowana jest funkcja pasma podstawowego. Częstotliwość została wybrana poprzez znalezienie najniższej częstotliwości, która jest całkowitą podwielokrotnością A i jednocześnie spełnia kryterium Nyquista dla pasma podstawowego: fs > 2B. W związku z tym funkcja pasmowa została efektywnie przekształcona na pasmo podstawowe. Wszystkie inne wskaźniki, które unikają nakładania się, są dane przez te bardziej ogólne kryteria, gdzie A i A+B są zastąpione przez fL i fH, odpowiednio:

2 f H n ≤ f s ≤ 2 f L n – 1 {frac {2f_{H}}{n}}} f_{s}} {frac {2f_{L}}{n-1}}}}

, dla dowolnej liczby całkowitej n spełniającej: 1 ≤ n ≤ ⌊ f H f H – f L ⌋ {frac {f_{H}}{f_{H}-f_{L}}}}}right }

Największe n, dla którego warunek jest spełniony, prowadzi do najniższych możliwych częstotliwości próbkowania.

Ważne sygnały tego rodzaju obejmują sygnał pośredniej częstotliwości (IF) radia, sygnał o częstotliwości radiowej (RF) i poszczególne kanały banku filtrów.

Jeśli n > 1, to warunki skutkują tym, co jest czasami nazywane niedopróbkowaniem, próbkowaniem pasmowym lub stosowaniem częstotliwości próbkowania mniejszej niż częstotliwość Nyquista (2fH). Dla przypadku danej częstotliwości próbkowania, prostsze wzory na ograniczenia pasma widmowego sygnału są podane poniżej.

Widmo pasma radiowego FM (88-108 MHz) i jego aliasu pasma podstawowego przy próbkowaniu 44 MHz (n = 5). Wymagany jest filtr antyaliasowy dość ciasno przylegający do pasma radia FM, nie ma miejsca na stacje na pobliskich kanałach rozszerzających, takich jak 87,9 bez aliasingu.

Widmo pasma radia FM (88-108 MHz) i jego aliasu pasma podstawowego przy próbkowaniu 56 MHz (n = 4), pokazujące dużo miejsca na pasma przejściowe filtru antyaliasingowego. Obraz pasma podstawowego jest w tym przypadku odwrócony częstotliwościowo (parzyste n).

Przykład: Rozważmy radio FM, aby zilustrować ideę undersamplingu. W USA radio FM działa w paśmie częstotliwości od fL = 88 MHz do fH = 108 MHz. Szerokość pasma jest dana przez W = f H – f L = 108 M H z – 88 M H z = 20 M H z {displaystyle W=f_{H}-f_{L}=108 } -88 M H z =20 M H z {MHz} }

Warunki próbkowania są spełnione dla 1 ≤ n ≤ ⌊ 5. ≥20 ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ ™ } }rightrfloor }

Zatem n może wynosić 1, 2, 3, 4 lub 5. Wartość n = 5 daje najniższy przedział częstotliwości próbkowania 43.2 M H z < f s < 44 M H z {displaystyle 43.2 \mathrm {MHz} <f_{mathrm {s} }<44 M H z {mathrm {MHz} }

i jest to scenariusz zaniżonego próbkowania. W tym przypadku widmo sygnału mieści się w przedziale od 2 do 2,5 razy większym od częstotliwości próbkowania (wyższym niż 86,4-88 MHz, ale niższym niż 108-110 MHz). Niższa wartość n również prowadzi do użytecznej częstotliwości próbkowania. Na przykład, używając n = 4, spektrum pasma FM łatwo mieści się pomiędzy 1,5 i 2,0 razy częstotliwość próbkowania, dla częstotliwości próbkowania bliskiej 56 MHz (wielokrotności częstotliwości Nyquista to 28, 56, 84, 112, itd.). Zobacz ilustracje po prawej stronie. Kiedy zaniżamy próbkowanie sygnału rzeczywistego, obwód próbkujący musi być wystarczająco szybki, aby uchwycić najwyższą częstotliwość sygnału będącą przedmiotem zainteresowania. Teoretycznie, każda próbka powinna być pobierana w nieskończenie krótkim odstępie czasu, ale nie jest to praktycznie wykonalne. Zamiast tego, próbkowanie sygnału powinno odbywać się w na tyle krótkim odstępie czasu, aby mogło reprezentować wartość chwilową sygnału o najwyższej częstotliwości. Oznacza to, że w powyższym przykładzie radia FM, obwód próbkujący musi być w stanie uchwycić sygnał o częstotliwości 108 MHz, a nie 43,2 MHz. Tak więc, częstotliwość próbkowania może być tylko trochę większa niż 43,2 MHz, ale szerokość pasma wejściowego systemu musi wynosić co najmniej 108 MHz. Podobnie dokładność taktowania próbkowania, czyli niepewność apertury próbnika, często przetwornika analogowo-cyfrowego, musi być odpowiednia dla częstotliwości próbkowanych 108MHz, a nie niższej częstotliwości próbkowania. Jeżeli twierdzenie o próbkowaniu jest interpretowane jako wymaganie dwukrotności najwyższej częstotliwości, to należałoby przyjąć, że wymagana częstotliwość próbkowania jest większa od częstotliwości Nyquista 216 MHz. Chociaż to spełnia ostatni warunek dotyczący częstotliwości próbkowania, jest to rażące nadpróbkowanie. Zauważ, że jeśli pasmo jest próbkowane z n > 1, to filtr pasmowo-przepustowy jest wymagany dla filtra antyaliasingowego, zamiast filtra dolnoprzepustowego.

Jak widzieliśmy, normalnym warunkiem pasma podstawowego dla próbkowania odwracalnego jest to, że X(f) = 0 poza przedziałem: ( – 1 2 f s , 1 2 f s ) , {

Aby uwzględnić niedostateczne próbkowanie, warunek pasma przenoszenia jest taki, że X(f) = 0 poza unią otwartych dodatnich i ujemnych pasm częstotliwości

( – n 2 f s , – n – 1 2 f s ) ∪ ( n – 1 2 f s , n 2 f s ) {{displaystyle \left(-{frac {n}{2}}f_{mathrm {s} },-{frac {n-1}{2}}f_{mathrm {s} }}right)\cup \left({{frac {n-1}{2}}f_{mathrm {s} },-{frac {n}{2}}f_{mathrm {s} }}right)}

dla jakiejś dodatniej liczby całkowitej n {{displaystyle n}}

. co obejmuje normalny warunek pasma podstawowego jako przypadek n = 1 (z wyjątkiem tego, że tam, gdzie interwały schodzą się przy częstotliwości 0, mogą być zamknięte).

Odpowiednią funkcją interpolacyjną jest filtr pasmowy zadany przez tę różnicę dolnoprzepustowych odpowiedzi impulsowych:

n sinc ( n t T ) – ( n – 1 ) sinc ( ( n – 1 ) t T ) {displaystyle noperatorname {sinc} \left({\frac {nt}{T}}right)-(n-1)\operatorname {sinc}

.

Dalsze uogólnienia undersampling dla przypadku sygnałów z wielu pasm są możliwe, a sygnały w wielowymiarowych domen (przestrzeń lub czasoprzestrzeń) i zostały szczegółowo opracowane przez Igora Kluvánek.

.