A probabilidade a priori tem uma aplicação importante na mecânica estatística. A versão clássica é definida como a razão entre o número de eventos elementares (por exemplo, o número de vezes que um dado é lançado) e o número total de eventos – e estes considerados puramente dedutivos, ou seja, sem qualquer experimentação. No caso do dado, se o olharmos sobre a mesa sem o atirarmos, cada evento elementar é considerado dedutivamente para ter a mesma probabilidade – assim a probabilidade de cada resultado de um lançamento imaginário do dado (perfeito) ou simplesmente contando o número de faces é de 1/6. Cada face do dado aparece com a mesma probabilidade – sendo a probabilidade uma medida definida para cada evento elementar. O resultado é diferente se lançarmos o coto vinte vezes e perguntarmos quantas vezes (de 20) o número 6 aparece na face superior. Neste caso o tempo entra em jogo e temos um tipo diferente de probabilidade, dependendo do tempo ou do número de vezes que o coto é lançado. Por outro lado, a probabilidade a priori é independente do tempo – você pode olhar o dado na mesa o tempo que quiser sem tocá-lo e deduzir que a probabilidade do número 6 aparecer na face superior é de 1/6.
Em mecânica estatística, por exemplo, a de um gás contido num volume finito V {\displaystyle V}
, ambas as coordenadas espaciais q i {\i}}displaystyle q_{i}}
e as coordenadas de momento p i {\i}{\i}
dos elementos individuais do gás (átomos ou moléculas) são finitos no espaço de fase abrangido por estas coordenadas. Em analogia com o caso do coto, a probabilidade a priori é aqui (no caso de um contínuo) proporcional ao elemento de volume do espaço de fase Δ q Δ p {\i1}displaystyle {\i}delta q\i}delta p
dividido por h
, e é o número de ondas em pé (i.e. estados), onde Δ q q q q
é o intervalo da variável q {\i1}displaystyle q
e Δ p {\i1}displaystyle Delta p}
é o intervalo da variável p {\i1}displaystyle p
(aqui por simplicidade considerada em uma dimensão). Em 1 dimensão (comprimento L {\displaystyle L}
) este número ou peso estatístico ou ponderação a priori é L Δ p / h {\displaystyle L\Delta p/h}
. Nas 3 dimensões habituais (volume V {\displaystyle V}
) o número correspondente pode ser calculado para ser V 4 π p 2 Δ p / h 3 {\displaystyle V4\pi p^{2}{\delta p/h^{3}}
. Para entender esta quantidade como dando um número de estados na mecânica quântica (isto é, na mecânica quântica), lembre-se que na mecânica quântica cada partícula está associada a uma onda de matéria que é a solução de uma equação de Schrödinger. No caso de partículas livres (de energia ϵ = p 2 / 2 m {\i} {\i1} {\i1}^{\i}/2m}
) como os de um gás numa caixa de volume V = L 3 {\a2}{\a3}
tal onda de matéria é explicitamente ψ ∝ sin ( l π x / L ) sin ( m π y / L ) sin ( n π z / L ) {\i}displaystyle {\i x/L)sin(lpi x/L){\i x/L)sin(mpi y/L){\i z/L
,
where l,m , n {\i x/L)sin(m,n}displaystyle l,m,n
são números inteiros. O número de diferentes ( l , m , n ) {\\i1}estilo de exibição (l,m,n)}
valores e portanto estados na região entre p , p + d p , p 2 = p 2 , {\i1}\i1}{\i1}{\i1}displaystyle p,p+dp,p^{\i}={\i}{\i}^{\i}{\i}{\i1}===\i}{\i}{\i1}{\i1}}displaystyle p,p+dp
é então encontrada a expressão acima V 4 π p 2 d p / h 3 {\i1}displaystyle V4\i p^{2}dp/h^{3}}
, considerando a área coberta por estes pontos. Além disso, tendo em conta a relação de incerteza, que em 1 dimensão espacial é Δ q Δ p ≥ h {\i1}displaystyle Delta q\i}delta p\geq h}
,
estes estados são indistinguíveis (ou seja, estes estados não trazem etiquetas). Uma consequência importante é um resultado conhecido como teorema de Liouville, ou seja, a independência temporal deste elemento de volume de espaço de fase e, portanto, da probabilidade a priori. Uma dependência temporal dessa quantidade implicaria informação conhecida sobre a dinâmica do sistema e, portanto, não seria uma probabilidade a priori. Assim, a região
Ω := Δ q Δ p ∫ q Δ p , ∫ Δ q Δ p = c o n s t . , estilo de jogo Omega :=frac q Delta q Delta p},|;|;|int Delta q Delta p=const..,
produz zero (com a ajuda das equações de Hamilton): O volume no momento t {\i1}displaystyle t
é o mesmo que no tempo zero. Descreve-se isto também como conservação de informação.
Na teoria quântica completa, tem-se uma lei de conservação análoga. Neste caso, a região do espaço de fase é substituída por um subespaço do espaço de estados expresso em termos de um operador de projecção P {\displaystyle P}.
, e em vez da probabilidade no espaço de fase, tem-se a densidade de probabilidade Σ := P T r P , N = T r P = c o n s t . {\a10},{\a10},N=TrP=const.,}
where N {\a10}displaystyle N
é a dimensionalidade do subespaço. A lei de conservação, neste caso, é expressa pela unitaridade da matriz S. Em ambos os casos, as considerações assumem um sistema isolado fechado. Este sistema fechado isolado é um sistema com (1) uma energia fixa E {\\i1}estilo E {\i}
e (2) um número fixo de partículas N {\i1}displaystyle N
em (c) um estado de equilíbrio. Se considerarmos um grande número de réplicas deste sistema, obtemos o que se chama um “conjunto microcanônico”. É para este sistema que se postula na estatística quântica o “postulado fundamental de probabilidades iguais a priori de um sistema isolado”. Isto diz que o sistema isolado em equilíbrio ocupa cada um de seus estados acessíveis com a mesma probabilidade. Este postulado fundamental permite, portanto, equacionar a probabilidade a priori à degeneração de um sistema, ou seja, ao número de diferentes estados com a mesma energia.